Enunciado

Em uma máquina térmica, 2,00 moles de um gás diatômico percorrem o ciclo ABCDA mostrado na Figura 19-21. (O diagrama PV não é desenhado em escala). O segmento AB representa uma expansão isotérmica e o segmento BC é uma expansão adiabática. A pressão e a temperatura em A são 5,00 atm e 600 K. O volume em B é o dobro do volume em A. A pressão em D é 1,00 atm.

  1. Qual é a pressão em B?
  2. Qual é a temperatura em C?
  3. Determine o trabalho total realizado pelo gás em um ciclo.

Passo 1

Bom, queremos achar a pressão em B. Para um gás ideal usamos a fórmula:

P B V B = n R T B

Sabendo que:

T B = T A = 600   K

Então o termo nRT é constante para os pontos A e B:

P A V A = P B V B

Lembrando que:

V B = 2 V A

P A = 5   a t m   x   101325 P a a t m = 506625   P a

Substituindo:

506625   P a   . V A = P B . 2 V A  

P B = 253312,5   P a

Em atm:

P B = 253312,5   P a   x 1   a t m 101325   P a = 2,5   a t m

Passo 2

Precisamos agora da temperatura em C. Sabendo que o segmento BC é uma expansão adiabática, podemos usar a seguinte relação:

T B . V B γ - 1 = T C . V C γ - 1

Onde:

γ = g + 2 g

Onde g são os graus de liberdade. Para um gás diatômico, g = 5 :

γ = 7 5

Isolando a temperatura:

T C = T B V B V C 2 5  

Não temos nenhum dos volumes, e agora? Vamos começar tentando descobrir o volume de B usando a lei dos gases ideais:

P B V B = n R T B

Sabendo que:

n = 2   m o l s

R = 8,314 J m o l . K

Substituindo:

253312,5   P a   .   V B = ( 2   m o l s ) 8,314 J m o l . K ( 600   K )

V B = 0,0394   m ³

Um já foi! Falta o outro ! Como é um processo adiabático podemos calcular o volume por meio de outra relação:

P B . V B γ = P C . V C γ

Isolando o volume:

V C = V B P B P C 5 7

Sabendo que:

P C = P D = 1   a t m   x   101325 P a a t m = 101325   P a

Substituindo:

V C = 0,0394   m ³ 253312,5   P a   101325   P a 5 7 = 0,0758   m ³

Ufaa! Vamos calcular a temperatura então:

T C = 600   K 0,0394   m ³ 0,0758   m ³ 2 5

T C = 462   K

Passo 3

E vamos seguindo ! Queremos calcular o trabalho total, ou seja:

W = W A B + W B C + W C D + W D A

Já sabemos que no caminho DA não há variação no volume, então:

W D A = 0

Para o segmento AB, expansão isotérmica, o trabalho é calculado como:

W A B = n R T A . ln ⁡ V B V A

Substituindo:

W A B = ( 2   m o l s ) 8,314 J m o l . K ( 600   K ) ln ⁡ 2 V A V A

W A B = 6,9   k J

Para o segmento BC, expansão adiabática, calculamos o trabalho como:

W B C = - g 2 n R ∆ T = - g 2 n R ( T C - T B )

Já sabemos que g = 5 :

W B C = - 5 2 n R ( T C - T B )

Substituímos:

W B C = - 5 2 2   m o l s 8,314 J m o l . K ( 462   K - 600   K )

W B C = 5,7   k J

Para o segmento CD, compressão à pressão constante, o trabalho é calculado simplesmente como:

W C D = P C ∆ V = P C ( V D - V C )

Não temos o volume em D, mas sabemos que:

V D = V A = V B 2 = 0,0197   m ³

Colocando os valores:

W C D = 101325   P a   ( 0,0197   m ³ - 0,0758   m ³ )

W C D = - 5,68   k J

Como queremos o trabalho total:

W = 6,9   k J + 5,7   k J - 5,68   k J = 6,92   k J

Resposta

  1. P B = 2,5   a t m ;
  2. T C = 462   K ;
  3. W = 6,92   k J .
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