Enunciado

Um hemisfério sólido de vidro com raio igual a 12,0   c m e índice de refração n = 1,50   c m é colocado com sua superfície plana apoiada sobre uma mesa. Um feixe de raios paralelos com seção reta e diâmetro igual a 3,80   m m incide verticalmente de cima para baixo e entra no hemisfério através do centro de sua superfície curva. (a) Qual é o diâmetro do círculo de luz que se forma sobre a mesa? (b) De que modo seu resultado depende do raio do hemisfério?

Passo 1

(a) O primeiro passo é fazer um desenho da situação:

Pra determinar o diâmetro do círculo de luz que é formado sobre a mesa, vamos pensar em um raio de luz que está em uma extremidade do feixe.

Passo 2

Esse raio incide com um ângulo θ a e é refratado com um ângulo θ b :

Pela lei de Snell:

n 1 sen ⁡ θ a = n 2 sen ⁡ θ b

E olhando um pouco o desenho, a gente pode achar algumas expressões para os senos de θ a e θ b :

sen ⁡ θ a = r R

sen ⁡ θ b = d ' R

Mas o nosso objetivo final mesmo é calcular aquele d , que vai dar o raio do círculo de luz.

Já que na realidade o raio R é bem maior do que r (nosso desenho é só uma ilustração), os ângulos são bem pequenos, e por isso dá pra fazer essa aproximação aqui:

d ' ≈ d

Então:

sen ⁡ θ b = d R

Passo 3

Substituindo isso na lei de Snell:

n 1 sen ⁡ θ a = n 2 sen ⁡ θ b

n 1 r R = n 2 d R

Dá pra cortar o raio R da expressão:

n 1 r = n 2 d

Então:

d = n 1 r n 2

Agora é só substituir os valores numéricos, lembrando de expressar o raio r em centímetros:

d = 1,00 0,190 1,50 = 0,1267   c m

Esse é o raio do círculo de luz, então o diâmetro é:

D = 2 d = 2 0,1267 = 0,253   c m

Passo 4

Dá uma olhada na expressão que a gente encontrou no passo de cima:

d = n 1 r n 2

O raio R não aparece! Mas ao mesmo tempo, a gente só conseguiu chegar nessa expressão porque o raio R era quase dez vezes maior do que r . Isso serviu pra fazer aquela aproximação d ' ≈ d .

Então o raio R não afeta o resultado, desde que ele seja grande o suficiente em relação ao raio r .

Resposta

(a) O círculo de luz tem 0,253   c m de diâmetro.

(b) O raio R não afeta o resultado, desde que seja grande o suficiente em relação ao raio r do feixe.

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