Enunciado

Em uma história curta de ficção científica escrita nos anos de 1970, Bem Bova descreveu um conflito entre duas colônias hipotéticas na Lua – uma fundada pelos Estado Unidos e a outra pela União Soviética. Na história, os colonos de cada lado começaram a disparar uns contra os outros, para perceberem, espantados, que as velocidades com que as balas saiam dos rifles eram tão altas que os projéteis entravam em órbita. (a) Se a aceleração de queda livre na lua é 1,67 m/s², qual é o alcance máximo do projétil atirado a 900 m/s? (despreze a curvatura da superfície da Lua.) (b) Qual deve ser a rapidez do projétil ao abandonar o rifle para que ele entre em órbita circular rente à superfície da Lua?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para descobrir o alcance máximo, podemos usar a equação da aceleração constante:

x - x 0 = v 0 x t + 1 2 a x t 2

Sabemos que a posição inicial é x 0 = 0 e que a aceleração é nula, temos:

x = v 0 x t

x = ( v 0 cos ⁡ θ ) t

Analisando a posição verticalmente, temos:

y - y 0 = v 0 y t + 1 2 a y t 2

Sabemos que a posição inicial y 0 = 0 e que a aceleração é a da gravidade para baixo, logo:

y = v 0 y t - 1 2 g t 2

y = ( v 0 sin ⁡ θ ) t - 1 2 g t 2

Relacionando as duas equações da posição, temos:

y = ( v 0 sin ⁡ θ ) x v 0 cos ⁡ θ   - 1 2 g x v 0 cos ⁡ θ 2  

y = ( x tan ⁡ θ )   - 1 2 g x v 0 cos ⁡ θ 2

Aplicando ao problema, temos:

0 = ( R tan ⁡ θ )   - 1 2 g R v 0 cos ⁡ θ 2

Temos que:

R = v 0 2 g sin ⁡ 2 θ 0

Substituindo os valores, temos:

R = 900 2 1,67 sin ⁡ 2 ⋅ 45 °

R = 485   k m

Passo 2

Para que o objeto entre em órbita a aceleração centrípeta deve ser igual a aceleração da gravidade lunar, logo:

a c = g = v 2 r

v = g r

Substituindo os valores, temos que:

v = 1,67 ⋅ 1,74 ⋅ 10 6

v = 1,7   k m / s

Resposta

a ) R = 485   k m

b ) v = 1,7   k m / s

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