Enunciado

No instante t = 0 , o vetor posição de uma partícula de 2 k g em relação à origem é r → = 4 i → - 2 j → . A velocidade da partícula é dada por v → = - 6 t 2 i → para t ≥ 0 em segundos. Qual é

( a ) o momento angular L → da partícula e

( b ) o torque τ → em relação à origem, em termos dos vetores unitários e para t > 0 ?

Qual é

( c ) o valor de L → e

( d ) o valor de τ → em relação ao ponto - 2 ; - 3 ; 0 para t > 0 ?

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Primeiro vamos começar calculando a aceleração:

a → = d v → d t = - 12 t i →

E multiplicando pela massa teremos a força aplicada na partícula:

F → = - 24 t i →

Passo 2

O problema pede o momento angular da partícula. Lembrando que a definição é

l → = m r → × v → = m . i → j → k → x y z v x v y v z

Em relação à origem os vetores posição e velocidade são: r → = ( 4 ; - 2 ; 0 ) e v → = ( - 6 t 2 , 0 ; 0 ) . Então podemos substituir nas componentes correspondentes ali em cima:

l → = 2 . i → j → k → 4 - 2 0 - 6 t 2 0 0 = 2 . [ 0 + 0 i → + 0 + 0 j → + 0 - 12 t 2 k → ]

l → = - 24 t 2 k → J . s

Passo 3

O torque pode ser relacionado tanto com a derivada temporal do momento angular quanto com o produto vetorial entre o vetor posição e a força aplicada (que calculei lá no passo 1 , já prevendo que poderia ser útil). Aqui, como o vetor posição é em relação à origem e calculamos o momento angular, vou preferir usar a derivada temporal, por facilidade mesmo. Você pode testar do outro jeito e verificar que dá o mesmo resultado =D

Então, o torque vai ser a derivada temporal do momento linear:

τ → r e s = d l → d t = d d t - 24 t 2 k →  

τ → = - 48 t k →  

Passo 4

O problema agora pede o momento angular da partícula em relação a outro ponto. Lembrando que a definição é

l → = m r → × v → = m . i → j → k → x y z v x v y v z

Em relação à origem os vetores posição e velocidade são: r → = 4 ; - 2 ; 0 - - 2 ; - 3 ; 0 = ( 6 ; - 1 ; 0 ) e v → = ( - 6 t 2 , 0 ; 0 ) . Então podemos substituir nas componentes correspondentes ali em cima:

l → = 2 . i → j → k → 6 - 1 0 - 6 t 2 0 0 = 2 . [ 0 + 0 i → + 0 + 0 j → + 0 - 6 t 2 k → ]

l → = - 12 t 2 k → J . s

Passo 5

Então, o torque vai ser a derivada novamente temporal do momento linear:

τ → r e s = d l → d t = d d t - 12 t 2 k →  

τ → = - 24 t k →  

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Bora treinar mais?

Resposta

( a )   - 24 t 2 k → J . s  

b - 48 t k →   N . m

( c ) - 12 t 2 k → J . s

d - 24 t k → N . m  

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