Enunciado

Uma lâmina dielétrica de espessura h é introduzida entre as placas de um capacitor de placas paralelas de separação d . Mostre que a capacitância é dada por

C = k ϵ 0 A k d - b k - 1

(Sugestão: Deduza a fórmula seguindo o modelo do Exemplo 27-10.) Esta fórmula prevê o resultado numérico correto do Exemplo 27-10? Verifique que a fórmula está de acordo com os casos especiais de b = 0 , k = 1 e b = d .

Passo 1

Fala galera, bora lá!

Seja E   um campo elétrico na região vazia e E d o campo elétrico no interior do dielétrico. Da Eq. 27-32 dada no livro sabemos que

E d = E k

Portanto, vemos que a diferença de potencial através do capacitor é dada por

V = x E + b E d + d - b - x E

Ou seja,

V = d - b + b k E

Como sabemos que

E = q A ϵ 0

Segue que

V = q A ϵ 0 d - b + b k

Multiplicando tudo por k , temos

V = q A ϵ 0 k k d - b k - 1

Como

C = q V

Logo

q V = A ϵ 0 k k d - b k - 1

Tiramos sem dificuldades que, realmente,

C = k ϵ 0 A k d - b k - 1

Passo 2

Note que este resultado não depende da posição exata da lâmina dentro do dielétrico. A lâmina tanto poderá estar tocando qualquer uma das placas como estar no meio delas, sem que se altere o valor acima.

Tanto para b = 0 quanto para k = 1 a relação anterior fornece corretamente a capacitância no vácuo, ou seja,

C = A ϵ 0 d

Quando b = d , situação em que o dielétrico preenche totalmente o espaço entre as placas do capacitor, a expressão acima também fornece o resultado correto, a saber,

C = k A ϵ 0 d

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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