Enunciado

Suponha que todas as condições indicadas no problema 44.57 sejam as mesmas, exceto que v = d r / d t seja constante para um dado θ , em vez de considerar H 0 constante no tempo. Assim, mostre que a constante de Hubble é dada por H 0 = 1 / t e que, portanto, o valor atual é 1 / T , onde T é a idade do universo.

Problema 44.57: Considere o modelo bidimensional para a expansão do universo um balão esférico (Figura 44.16 na Seção 44.6). A menor distância entre dois pontos da superfície, medida ao longo da superfície, é o comprimento de arco r , onde r = R θ . À medida que o balão se expande, seu raio R cresce, porém o ângulo θ entre dois pontos permanece constante. (a) Explique por que, em qualquer instante ( d R / d t ) / R apresenta o mesmo valor em todos os pontos da superfície do balão. (b) Mostre que v = d r / d t é diretamente proporcional a r em qualquer instante. (c) Usando sua resposta do item (b), qual é a expressão da constante de Hubble H 0 em termos de R e de d R / d t ? (d) A expressão de H 0 que você obteve no item (c) é constante no espaço. Como R deveria depender em relação ao tempo para que H 0 seja constante no tempo? (e) Sua resposta no item (d) é compatível com a atração gravitacional da matéria existente no universo?

Passo 1

(a) O nosso objetivo é encontrar uma expressão para a constante de Hubble.

Então vamos lembrar da fórmula mais simples que temos para ela:

H 0 = 1 R d R d t

E também sabemos que esse raio R se relaciona com as distâncias r por essa fórmula aqui:

r = R θ

E as velocidades de separação entre os pontos são:

v = d r d t

Vamos começar procurando uma relação entre essas grandezas.

Passo 2

Vamos começar substituindo r em d R / d t :

d R d t = d d t   r θ

Aplicando a regra do produto:

d R d t = 1 θ d r d t - r d d t 1 θ

d R d t = 1 θ d r d t - r θ 2 d θ d t

Mas vamos considera θ constante, como o enunciado sugeriu, então:

d θ d t = 0

Nesse caso:

d R d t = 1 θ d r d t

Beleza, agora vamos jogar isso lá na fórmula da constante de Hubble.

Passo 3

A expressão é a seguinte:

H 0 = 1 R d R d t

Substituindo a fórmula que a gente demonstrou ali em cima:

H 0 = 1 R θ d r d t

Mas esse produto que apareceu no denominador é r = R θ , então:

H 0 = 1 r   d r d t

Isolando d r / d t :

d r d t = H 0 r

Mas esse termo aí do lado esquerdo é o v que foi dado no enunciado, então:

v = H 0 r

Passo 4

Beleza, agora vamos substituir H 0 nessa última fórmula. A ideia é ter uma expressão bem completa para o v :

v = H 0 r = 1 R d R d t r

v = r R d R d t

Pela sugestão do enunciado, vamos usar:

d v d θ = 0

Ou seja:

d d θ r R d R d t = 0

Está falando um θ nessa expressão! É só lembrar que r / R = θ :

d d θ θ d R d t = 0

Ok, mas o que isso quer dizer? Bom, se θ   d R / d t tem derivada zero em relação a θ , então essa fração é igual a alguma constante K :

θ d R d t = K

Ou seja:

d R d t = K θ

d R = K θ t

Fazendo um integraçãozinha bem rápida dos dois lados:

R = K θ t

Ok, estamos quase lá.

Passo 5

Já que a gente quer chegar em H 0 = 1 / t , vamos usar essa relação aqui mais uma vez:

H 0 = 1 R d R d t    

Substituindo os dois R ’s com a expressão ali de cima:

H 0 = θ K t d d t K θ t    

E resolvendo essa derivada:

H 0 = θ K t   K θ

H 0 = 1 t

Pronto! Chegamos na expressão do enunciado.

Usando essa expressão a gente poderia calcular o valor atual da constante de Hubble:

H 0 = 1 T

Onde T é idade atual do universo.

Resposta

Demonstração.

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