Enunciado

Um líquido escoando por um tubo vertical apresenta uma forma definida durante escoamento. Para obter a equação para essa forma, suponha que o liquido esteja em queda livre quando sai do tubo. No exato momento em que ele sai, o liquido possui velocidade v 0 e o raio da corrente é r 0 . a) Encontre a expressão para a velocidade do liquido em função da distancia y de sua queda. Combinando essa relação com a da continuidade, ache uma expressão para o raio da corrente em função de y. b) Se a água escoa de um tubo vertical com velocidade de 1,20 m/s, a que distância da saída do tubo o raio será igual à metade do seu valor na corrente original?

Passo 1

Aplicaremos as equações de aceleração constante ao líquido em queda para encontrar sua velocidade em função da distância abaixo da tomada. Em seguida, aplicaremos a equação

A 1 v 1 = A 2 v 2

para relacionar a velocidade com o raio do fluxo.

Seja o ponto 1 no final do tubo e deixe o ponto 2 estar no fluxo do líquido a uma distância 2 anos abaixo do final do tubo,

Considere a queda livre do líquido. Tomo como + y para baixo.

Queda livre implica: a y = g .

v y é positivo, substitua-o pela velocidade v .

Passo 2

  1. Assim, para encontrarmos a expressão para a velocidade do liquido em função da distancia y de sua queda partimos da equação:
  2. v 2 2 = v 1 2 + 2 a   ( y - y 0 )

    Que nos dá

    v 2 2 = v 1 2 + 2 g y 2

    E

    v 2 = v 1 2 + 2 g y 2

    A equação da continuidade nos diz que

    v a A 1 = v 2 A 2

    E como A = π   r 2 , isso se torna

    v 1 π r 1 2 = v 2 π r 2 2

    E

    v 2 = v 1 r 1 r 2 2  

    E então usaremos isso acima para eliminar v 2 :

    v 1 r 1 r 2 2 = v 1 2 + 2 g y 2

    r 2 = r 1 v 1 v 1 2 + 2 g y 2 1 4

    Para corresponder à notação no problema, deixe v 1 = v 0 e r 1 = r 0 , pois o ponto 1 é onde o líquido sai primeiro no tubo e deixe r 2 ser r e y 2 ser y .

    A equação que derivamos se torna então

    r = r 0 v 0 v 0 2 + 2 g y 1 / 4

    Passo 3

  3. Temos que v 0 = 1,20   m / s

Queremos o valor de y que dá

r = 1 2 r 0

Ou

r 0 = 2 r

O resultado obtido na parte (a) diz

y = r 0 r 4 - 1 v 0 2 2 g = 16 - 1 1,20 m s 2 2 ⋅ 9,8 m / s 2 = 1,10   m

A equação derivada na parte (a) diz que r diminui com a distância abaixo da extremidade do tubo.

Resposta

  1. r = r 0 v 0 v 0 2 + 2 g y 1 / 4
  2. 1,10   m
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