Enunciado

41. O livro de física de 1,0   k g da FIGURA P7.41 está ligado por um barbante a uma caneca de café de 500   g . Dá-se um pequeno empurrão no livro para cima e ele é liberado com uma velocidade de 3,0   m / s . Os coeficientes de atrito são μ e = 0,50 e μ c = 0,20 .

a . Que distância o livro subirá deslizando?

b . No ponto mais alto, o livro fica grudado na rampa ou ele desliza de volta para baixo?

Passo 1

Então galera, para resolver o item ( a ) , temos que analisar nosso sistema enquanto ele está em movimento utilizando a segunda lei de Newton, pois assim encontramos a aceleração com que o livro é freado na rampa.

Para nossa vida ficar mais fácil vamos montar um diagrama de corpo livre para essa situação, temos o seguinte:

Desse diagrama podemos dizer que T c = T l , já que eles estão presos por uma corda ideal.

Achando a aceleração podemos encontrar quanto o livro andou com a seguinte equação da cinemática.

v 1 x 2 = v 0 x 2 + 2 a ( x 1 - x 0 )

Onde iremos querer achar x 1 .

Para responder o item ( b ) vamos montar um diagrama de corpo livre para o livro no caso que ele está em repouso e encontrar o valor da força de atrito, usando a segunda lei de Newton, que faz com que ele fique parado. Temos o seguinte diagrama:

Caso essa força seja maior do que a força de atrito máximo que podemos calcular para o livro usando o coeficiente de atrito estático, assim:

f m á x = μ e n

Passo 2

Vamos resolver o item ( a ) , vamos começar analisando a caneca.

Para caneca só precisamos analisar a direção y , temos:

T c - F G c = m c a

T c - m c g = m c a

Agora vamos analisar o livro primeiro na direção y , temos:

n - F G l cos ⁡ 20 ° = 0

n = m l g cos ⁡ 20 °

Agora vamos analisar para direção x , temos:

- T l - f c - F G l sen ⁡ 20 ° = m l a

⇒ - T l - μ c n - m l g sen ⁡ 20 ° = m l a

Usando o que encontramos para a normal ( n ) , temos:

- T l - μ c m l g cos ⁡ 20 ° - m l g sen ⁡ 20 ° = m l a

Passo 3

Agora como sabemos do passo 1 temos que T l = T c , então somando as duas expressões que chegamos no passo anterior temos:

- μ c m l g cos ⁡ 20 ° - m l g sen ⁡ 20 ° - m c g = m l a + m c a

⇒ m l + m c a = - g ( μ c m l cos ⁡ 20 ° + m l sen ⁡ 20 ° + m c )

Então temos que:

a = - g ( μ c m l cos ⁡ 20 ° + m l sen ⁡ 20 ° + m c ) m l + m c

Agora vamos substituir tudo o que sabemos, assim temos:

a = - ( 9,8 ) ( ( 0,2 ) ( 1 ) cos ⁡ 20 ° + ( 1 ) sen ⁡ 20 ° + 0,5 ) 1 + 0,5

= - 9,8 ( 1,03 ) 1,5

Então temos que:

a = - 6,73   m / s 2

Passo 4

Agora que temos a aceleração podemos encontrar a distância que o livro percorreu até parar, temos:

v 1 x 2 = v 0 x 2 + 2 a ( x 1 - x 0 )

Substituindo o que sabemos, temos:

0 2 = 3 2 + 2 ( - 6,73 ) ( x 1 - 0 )

⇒ 0 = 9 - 13,46 x 1

⇒ 13,46 x 1 = 9

Então temos que:

x 1 = 0,67   m

Passo 5

Agora vamos resolver o item ( b ) , onde vamos analisar o livro para e ver a força de atrito estático necessária para manter o livro para, temos o seguinte:

f e - T l - F G l sen ⁡ 20 ° = 0

Já sabemos que T l = T c e do desenvolvimento de ( a ) , encontramos que:

T c = m c g

Assim temos que:

f e - m c g - m l g sen ⁡ 20 ° = 0

Isolando f e , temos:

f e = m c g + m l g sen ⁡ 20 °

Substituindo o que sabemos, temos:

f e = ( 0,5 ) ( 9,8 ) + ( 1 ) ( 9,8 ) sen ⁡ 20 °

⇒ f e = 8,25   N

Então essa a força de atrito necessária para manter o livro em repouso.

Agora vamos usar a equação da força de atrito estático máximo para saber a força máxima que esse livro pode ter de atrito, temos:

f m á x = μ e n

⇒ f m á x = μ e m l g

Substituindo tudo o que sabemos, temos:

f m á x = ( 0,5 ) ( 1 ) ( 9,8 )

⇒ f m á x = 4,9   N

Como a força máxima de atrito que livro pode ter é menor que a força de atrito necessária para mantê-lo em repouso o nosso livro acaba descendo a rampa.

Resposta

( a )

x 1 = 0,67   m

( b )

O livro desliza para baixo.

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