Enunciado

A luz de uma lâmpada de sódio, com um comprimento de onda de 589   n m , incide perpendicularmente em uma rede de difração com 40.000 ranhuras de 76   n m de largura. Determine os valores (a) da dispersão D e (b) da resolução R para a primeira ordem, (c) de D e (d) de R para a segunda ordem e (e) de D e (f) de R para a terceira ordem.

Passo 1

Vamos começar calculando a distância d entre as ranhuras, sabendo que temos 40.000 ranhuras em uma rede de firação de 76.10 - 9   m de largura:

d = 76.10 - 9 40000 = 1900   n m

Beleza, com isso podemos calcular as posições angulares dos máximos:

d sen ⁡ θ = m λ

Já que vamos precisar das ordens m = 1,2 e 3 . Vamos calcular as posições angulares de uma vez.

Para m = 1 :

θ = arcsen ⁡ 1 589 ( 1900 ) = 18 °

Para m = 2 :

θ = arcsen ⁡ 2 589 ( 1900 ) = 38 °

Para m = 3 :

θ = arcsen ⁡ 3 589 ( 1900 ) = 68 °

Passo 2

(a) Agora sim, vamos começar calculando a dispersão no caso m = 1 . A fórmula para a dispersão é a seguinte:

D = m d cos ⁡ θ

Mas podemos usar a fórmula ali de cima para fazer uma substituição:

m = d sen ⁡ θ λ

D = tan ⁡ θ λ

Então, como para m = 1 temos θ = 18 ° :

D = tan ⁡ 18 ° 589   n m = 5,52   .   10 - 4   r a d / n m

(b) E a resolução é bem mais fácil de calcular:

R = N m = 40   000 1 = 40   000

Passo 3

(c) Agora vamos fazer a mesma coisa para o caso em que m = 2 , e portanto θ = 38 ° :

D = tan ⁡ 3 8 ° 589   n m = 1,33   .   10 - 3   r a d / n m

(d) E para a resolução, temos:

R = N m = 40   000 ( 2 )

R = 8,0   .   10 4  

Passo 4

(e) E então, por último, precisamos repetir a mesma conta para m = 3 , e portanto θ = 68 ° :

D = tan ⁡ 6 8 ° 589   n m = 4,20   .   10 - 3   r a d / n m

(f) E para a resolução, temos:

R = N m = 40   000 ( 3 )

R = 1,2   .   10 5  

Resposta

(a) D = 5,52   .   10 - 4   r a d / n m

(b) R = 4,0   .   10 4 .

(c) D = 1,33   .   10 - 3   r a d / n m .

(d) R = 8,0   .   10 4 .

(e) D = 4,20   .   10 - 3   r a d / n m .

(f) R = 1,2   .   10 5 .

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