Enunciado

Na máquina de Atwood abaixo a corda passa por cima do cilindro fixo de massa m C . O cilindro não roda. Ao invés disso, a corda desliza sobre a sua superfície sem atrito. (a) Encontre a aceleração do centro de massa do sistema blocos-cilindro-corda. (b) Use a segunda lei de Newton para sistemas para encontrar a força F exercida pelo suporte. (c) Encontre a tensão T na corda conectando os blocos para mostrar que F = m C g + 2 T .

Passo 1

(a) Olá, querido, tá bem? Temos essa peça formada pelos blocos, o fio e o cilindro. Ele quer saber a aceleração do centro de massa desse conjunto.

A expressão da aceleração do centro de massa é

M a → C M = ∑ m i a i

Onde M é a massa total do conjunto, a → C M é a aceleração do centro de massa e ∑ m i a i é a soma do produto entre massa e velocidade para cada parte do nosso conjunto.

No nosso caso, a expressão para a aceleração do centro de massa fica da seguinte forma:

M a → C M = m 1 a → 1 + m 2 a → 2 + m C a → C

A massa total é a soma das massas dos blocos e do cilindro (vamos desprezar a massa da corda), então M fica:

m 1 + m 2 + m c a C M = m 1 a → 1 + m 2 a → 2 + m C a → C

E temos que a aceleração do cilindro é nula porque ele fica parado, e temos que a aceleração dos blocos vai ser igual porque eles estão ligados por um fio. Chamando essa aceleração de a , ficamos com:

m 1 + m 2 + m c a C M = m 1 a - m 2 a

Isolando quem a gente quer:

a C M = m 1 - m 2 m 1 + m 2 + m c a

Passo 2

Agora precisamos encontrar uma expressão para a aceleração a dos blocos. Para fazer isso, vamos aplicar a segunda lei de Newton na vertical em cada bloco. Tá aqui o diagrama de corpo livre desses dois carinhas:

Para cada bloco colocamos um referencial diferente, mas nos dois casos ele está positivo no sentido da aceleração para facilitar nossas contas.

Para o bloco da direita podemos escrever a seguinte expressão da segunda lei de Newton:

∑ F y = m a y

T - F g 2 = m 2 a

T - m 2 g = m 2 a   i

E para o bloco da esquerda:

∑ F y = m a y

F g 1 - T = m 1 a

m 1 g - T = m 1 a   i i

Somando as duas equações i e i i

m 1 g - m 2 g = m 1 a + m 2 a

a = m 1 - m 2 m 1 + m 2 g

E substituindo isso na expressão do passo anterior:

a C M = m 1 - m 2 m 1 + m 2 + m c m 1 - m 2 m 1 + m 2 g

a C M = m 1 - m 2 2 ( m 1 + m 2 ) ( m 1 + m 2 + m c ) g

Passo 3

(b) Ele quer F . Olhando para o sistema inteiro, as únicas forças externas em ação são a força F do suporte e o peso total do sistema, então podemos escrever a segunda lei de Newton para o conjunto formado pelos blocos, corda e cilindro:

Mais uma vez colocamos o sistema positivo no sentido da aceleração do centro de massa do conjunto (ela está para baixo porque o bloco maior está caindo). A segunda lei de Newton fica:

∑ F = M a C M

Lembrando que a aceleração aqui é aceleração do centro de massa que a gente já achou. Continuando:

F g c o n j u n t o - F = M a C M

M g - F = M a C M

F = M g - a C M

Lembrando que M é a massa total do conjunto e substituindo nossa expressão de a C M :

F = m 1 + m 2 + m c 1 - m 1 - m 2 2 m 1 + m 2 m 1 + m 2 + m c g

F = m 1 + m 2 m 1 + m 2 + m c - m 1 - m 2 2 m 1 + m 2 g

Agora vamos tentar simplificar um pouco essa expressão

F = m 1 2 + m 2 2 + 2 m 1 m 2 + m 1 m c + m 2 m c - m 1 2 - m 2 2 + 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 g

F = 4 m 1 m 2 + m c m 1 + m 2 m 1 + m 2 g

F = 4 m 1 m 2 m 1 + m 2 + m c g

Passo 4

(c) Queremos T . Vamos voltar ao sistema de equações que montamos no passo 2 :

T - m 2 g = m 2 a   i m 1 g - T = m 1 a   i i  

E agora vamos subtrair a segunda equação da primeira:

2 T - m 2 + m 1 g = m 2 - m 1 a

E substituindo a expressão que já temos para a (Aceleração dos blocos) lá do passo 2 também:

2 T - m 2 + m 1 g = m 2 - m 1 m 1 - m 2 m 1 + m 2 g

2 T = - m 1 - m 2 2 m 1 + m 2 g + m 1 + m 2 g

Agora vamos simplificar um pouco essa expressão abrindo os produtos notáveis:

2 T = m 1 + m 2 2 - m 1 - m 2 2 m 1 + m 2 g

2 T = m 1 2 + 2 m 1 m 2 + m 2 2 - m 1 2 + 2 m 1 m 2 - m 2 2 m 1 + m 2 g

T = 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 g

Passo 5

E podemos demonstrar a relação que foi pedida se substituirmos isso no resultado que encontramos no item (b):

F = 4 m 1 m 2 m 1 + m 2 + m c g

Rearrumando:

F = 2 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 + m c g

Vimos no passo anterior que

T = 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 g → T g = 2 m 1 m 2 m 1 + m 2

Substituindo isso na equação acima na parte dentro do parênteses mais interno

F = 2 T g + m c g

F = 2 T g + m c g

E então:

F = 2 T + m c g

Que é o que ele pede!

Resposta

(a) a C M = m 1 - m 2 2 ( m 1 + m 2 ) ( m 1 + m 2 + m c ) g .

(b) F = 4 m 1 m 2 m 1 + m 2 + m c g .

(c) T = 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 g

.

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