Enunciado

Uma massa de 4,0   k g é suportada por um fio de aço de 0,60   m m   de diâmetro e 1,2   m de comprimento. De quanto o fio se alongará sob esta carga?

Passo 1

Ola! Ele quer a enlongação do fio. Ou seja, ele quer saber a variação de comprimento do fio quando ele é puxado. E por que esse fio é puxado? Vamos fazer esquema da situação:

O peso da carga vai causar uma tensão no cabo. Essa tensão é a força que tende a esticar o cabo, gerando um enlongamento Δ L em relação ao comprimento original do cabo.

Para achar esse enlongamento, vamos usar a fórmula do módulo de Young:

Y = F / A Δ L / L

Nela Δ L é o nosso enlongamento, F é a tensão no cabo, L é o comprimento inicial do cabo e A a área da seção transversal do cabo. E Y é o módulo de Young, que é tabelado para cada material.

A ideia é a gente usar essa fórmulinha para achar o que o enunciado pede. Mas lembra de passar todas as distâncias para metros e usar o módulo de Young em N m 2 Vamos!

Passo 2

Como queremos achar a elongação, isto é, de quanto se esticou o fio, vamos isolar o termo Δ L . Usando a propriedade de divisão de frações

Y = F / A Δ L / L = F A Δ L L = F A × L Δ L

Y = F L A Δ L

Δ L = F L Y A

Como ele nos deu o diâmetro do fio, vamos considerar que o cabo tem seção transversal circular. Logo sua área é dada por

A = π r 2

Sendo r o raio, que é metade do diâmetro dado

r = D 2

r = 0,6 2 = 0,3   m m

r = 0,3 × 10 - 3   m

Como temos uma carga suspensa e não temos forças externas, a nossa tensão no cabo será o próprio peso dessa carga que puxa ele para baixo, isto é,

F = P = m g

O valor do modulo de Young para o aço é o seguinte:

Y = 200   G N / m 2 = 200 × 10 9   N / m 2

Ele é um valor tabelado. No livro, você pode encontra-lo na tabela 12.1. Substituindo esses dados e expressões na fórmulinha, temos

Δ L = F L Y A

Δ L = m g L Y π r 2

Passo 3

Agora vamos substituir os valores na nossa expressão e correr pro abraço.

Δ L = m g L Y π r 2 = 4 ⋅ 9,81 ⋅ ( 1,2 ) 200 × 10 9 ⋅ π ⋅ 0,3 × 10 - 3 2

Fazendo as contas:

Δ L = 0,000 83   m = 0 , 83   m m

Resposta

Δ L = 0,83   m m

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