Enunciado

Determine a magnitude do campo gravitacional a uma distância r de uma barra fina e homogênea de comprimento infinito, cuja massa por unidade de comprimento é λ .

Passo 1

Primeiramente, vamos considerar um pedaço bem pequeno da barra com comprimento d l . Considerando a densidade linear do barra λ :

d m = λ d x

Agora vamos equacionar o campo gravitacional. Se liga nessa ilustração aqui embaixo:

Para acharmos a distância entre nosso pedaço de anel e o eixo, podemos fazer um Pitágoras:

ρ 2 = x 2 + r 2

Passo 2

Nosso campo vai ficar assim:

d g = G d m x 2 + r 2

Como d m = λ d x :

d g = G λ d x x 2 + r 2

Repare que quando decompormos nosso vetor d g → no eixo horizontal eles irám se anular, pois temos uma distribuição simétrica. Para tentar entender isso um pouco melhor, veja que para cada pedacinho que temos na parte de esquerda, temos um na parte de diretita para anular seu efeito. Então nos resta apenas a componente horizontal:

d g x = G λ d x x 2 + r 2 cos ⁡ θ

Vamos colocar o d x em função de d θ :

t g θ = x r

Derivando,

sec 2 ⁡ θ   d θ = 1 r d x → d x = r s e c 2 θ d θ

Logo,

d g x = G λ r s e c 2 θ d θ x 2 + r 2 cos ⁡ θ = G λ r x 2 + r 2 cos ⁡ θ s e c 2 θ d θ

Como r x 2 + r 2 = c o s 2 θ r :

d g x = G λ r ⋅ c o s 2 ( θ ) s e c 2 θ cos ⁡ θ d θ

Portanto,

d g x = G λ r cos ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora vamos integrar de - π 2 até π 2 , pois assim conseguimos pegar toda a barra

g x = ∫ π 2 π 2 G λ r cos ⁡ θ d θ = G λ r   ⋅ ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ θ d θ

I = ∫ - π 2 π 2 c o s ⁡ ( θ ) d θ = 2 ⋅ ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ = 2 ⋅ 1 - 0 = 2  

Logo,

I = 2

Portanto,

g = 2 G λ r

Resposta

g = 2 G λ r

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