Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Uma massa M é dividida em duas partes, m e M-m, que são em seguida separadas por uma certa distância. Qual é a razão m/M que maximiza o módulo da força gravitacional entre as partes?

Passo 1

Belezera galerinha, temos a equação da força gravitacional dada como:

F g = m 1 m 2 G d 2

No problema, uma massa M foi fragmentada dando origem a duas novas massas. E queremos encontrar a razão r entre as massas, tal que:

r = m M

Tal que as massas após a divisão, serão dadas como:

m 1 = m ,     m 2 = M - m

Agora a malandragem é a gente colocar a massa M em evidência em todas as massas individuais, de forma que teremos:

m 1 = M m M ,     m 2 = M 1 - m M

E olha quem apareceu ali rsrsrs a nossa sumida razão r :

m 1 = M r ,     m 2 = M 1 - r

Oi sumida!!

Dessa maneira, a força gravitacional entre essas duas massas será dada como:

F g = M r M 1 - r G d 2

F g = M 2 r - r 2 G d 2

Logo:

F g = M 2 G d 2 r - r 2

Onde d é a distância entre as massas.

Passo 2

Belezoca, então se queremos maximizar a força gravitacional, na verdade queremos maximizar a função:

F g = M 2 G d 2 r - r 2

E pra isso a gente pode derivar a função F g em função da variável r , onde r é nossa razão:

r = m M

Então de quebra, a gente encontra a razão entre as massas que já maximiza a força gravitacional entre elas!!!

E agora pra maximizar essa função, podemos lembrar lá das aulinhas de cálculo, e derivar a função igualando a zero, tal que:

d F g d r = M 2 G d 2 1 - 2 r

Logo:

M 2 G d 2 1 - 2 r = 0

1 - 2 r = 0

2 r = 1

Portanto:

r = 1 2

Sendo assim, razão m / M entre as massas que maximiza a força gravitacional entre ela é:

m M = 1 2

Resposta

m M = 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

As massas e coordenadas de três esferas são as seguintes: 20   k
Qual deve ser a distância entre uma partícula de 5,2 kg e uma partícul
Miniburacos negros. Talvez existam miniburacos negros no universo, pro
Na Fig. 13-33, três esferas de 5,00 kg estão localizadas a distâncias
11.3E Calcule a aceleração da gravidade na superfície da Lua.
O raio da Terra vale 6370   k m e o raio da Lua vale 1738  
Um medidor supercondutor de gravidade pode medir variações da ordem de
O peso medido de um corpo-padrão definido como tendo uma massa de exat
Calcule a massa da terra usando os valores conhecidos de G ,   g
Mostre que, no eixo x , o valor máximo de g para o campo do exemplo 11
Calcule a massa da Terra, a partir do período da Lua, T = 27,3  
Uma partícula pontual, de massa m 1 = 2,0 k g , está na origem e uma s