Enunciado

O meio ativo de um laser que produz fótons com um comprimento de onda de 694   n m   tem 6,00   c m de comprimento e 1,00   c m de diâmetro.

(a) Considere o meio como uma cavidade ótica ressonante semelhante a um tubo de órgão fechado. Quantos nós possui uma onda estacionária ao longo do eixo do laser?

(b) Qual teria que ser o aumento Δ f da frequência do laser para que a onda estacionária tivesse mais um nó?

(c) Mostre que Δ f é igual ao inverso do tempo que a luz leva para fazer uma viagem de ida e volta ao longo do laser.

(d) Qual seria o aumento relativo da frequência, Δ f / f .

O índice de refração do meio ativo (um cristal de rubi) é 1,75 .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vou ajudar você nessa questão! Bora lá? =)

Letra a)

Vamos pensar o seguinte: supondo que os dois espelhos são refletores perfeitos, então existe um nó em cada extremidade do meio, sendo assim existe N meios comprimentos de onda ao longo do tubo, tal como um tubo de órgão fechado. Dessa forma:

L = N λ c r i s t a l 2

Devemos levar em conta o índice de refração no meio. Lembrando lá da ótica, o comprimenro de onda do meio λ c r i s t a l vai ser: λ c r i s t a l = λ / n

Assim juntando tudo isso, podemos descobrir o número de nós N :

L = N 2 λ n

Temos que λ = 694 × 10 - 9 m , L = 6 × 10 - 2 m e n = 1,75 , então substituindo tudo temos:

N = 2 n L λ = 2.1,75.6 × 10 - 2   694 × 10 - 9 = 3,03 × 10 5

Passo 2

Letra b)

Agora queremos saber o aumento na frequência Δ f . Vamos primeiro relacionar a expressão para os nós que já temos com a frequência f . Sabemos que c = λ f , então λ = c f , daí o número de nós fica:

N = 2 n L c / f = 2 n L f c

E queremos a variação, como n , L   e   c são constantes, então:

Δ N = 2 n L c Δ f

E queremos apenas mais um nó, então Δ N = 1 :

Δ f = c 2 n L = 3 × 10 8 2.1,75.6 × 10 - 2 = 1,43 × 10 9 H z

Passo 3

Letra c)

Lembrando lá da ótima novamente, a velocidade v de propagação no meio é:

v = c n

E a distância percorrida pela onda é 2 L , já que ele vai e volta. Então o tempo vai ser a distância percorrida dividido pela velocidade:

t = d v = 2 L c / n = 2 n L c

Dá uma espiadela no passo anterior. Não é exatamente essa expressão, só que invetido? É sim! Então:

Δ f = 1 t = c 2 n L

Passo 4

Letra d)

A frequência f pode ser calculada através do comprimento de onda:

f = c λ = 3 × 10 8 694 × 10 - 9 = 4,32 × 10 14 H z

E o aumento relativo vai ser Δ f / f . O valor de Δ f foi calculado no passo 2, e a frequência é essa que acabamos de calcular, então agora é só fazer a razão entre esses valores:

Δ f f = 1,43 × 10 9 4,32 × 10 14 = 3,31 × 10 - 6

Resposta

a ) 3,03 × 10 5

b ) 1,43 × 10 9 H z

c ) Δ f = 1 t = c 2 n L

d ) 3,31 × 10 - 6

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