Enunciado

Um método para medir a suscetibilidade magnética de uma amostra usa um circuito L C constituído por um solenoide com núcleo vazio e um capacitor. A frequência de ressonância do circuito sem a amostra é determinada e, então, medida novamente com a amostra inserida no solenoide. Considere que você tenha um solenoide de 4,00   c m de comprimento, 3,00   m m de diâmetro de 400 voltas de fio fino. Você tem uma amostra que é inserida no solenoide e preenche completamente o espaço vazio. Despreze efeitos de borda. (a) Calcule a indutância do solenoide vazio. (b) Que valor você escolheria para a capacitância do capacitor a fim de que a frequência de ressonância do circuito sem a amostra fosse exatamente 6,0000   M H z ? (c) Quando uma amostra é inserida no solenoide, você determina que a frequência de ressonância cai para 5,9989   M H z . Use seus dados para determinar a suscetibilidade da amostra.

Passo 1

Olá pessoal, tudo certo com vocês? Espero que sim 😊. Vamos entender melhor essa questão?

Certo! Observe que, podemos usar L = μ 0 n 2 A l para determinar a indutância do solenoide vazio e a condição de ressonância para encontrar a capacitância do circuito livre de amostras quando a frequência de ressonância do circuito for 6,0000   M H z . Ao expressar L em função de f 0 e depois avaliando d f 0 / d L e aproximando a derivada com Δ f 0 / Δ L , podemos avaliar χ a partir de sua definição.

Passo 2

Pois vamos lá, por item! Expressando a indutância de um solenoide de núcleo de ar:

L = μ 0 n 2 A l  

Substituindo numericamente os valores, obtemos que

L = 4 π × 10 - 7 N A 400 4,00   c m 2 π 4 3,00   c m 2 4,00   c m

L = 3,55   m H

Passo 3

Para encontrar a capacitância, devemos lembrar da condição de ressonância dada pela questão, logo:

X L   = X C

2 π f 0 L = 1 2 π f 0 C

Portanto,

C = 1 4 π 2 f 0 2 L

Substituindo numericamente os valores, vamos obter que

C = 1 4 π 2 6,0000   M H z   2 3,55   m H  

C = 1,9803 × 10 - 13   F

C = 0,198   p F

Passo 4

Para o item c) Expressamos a suscetibilidade da amostra em termos de L e Δ L , logo

χ = Δ L L

Primeiro vamos encontrar a expressão da frequência, temos que

2 π f 0 L = 1 2 π f 0 C

Logo,

f 0 = 1 2 π L C

Derivamos f 0   em função de L , temos

d f 0 d L = 1 2 π C d d L   L - 1 / 2

d f 0 d L =   - 1 4 π C   L - 3 2 =   - 1 4 π L L C

Portanto,

d f 0 d L =   - f 0 2 L

Aproximando d f 0 / d L para Δ f 0 / Δ L ,

Δ f 0 Δ L =   - f 0 2 L

Logo,

Δ L L =   - 2 Δ f 0 f 0

Assim a suscetibilidade é dada por

χ =   - 2 Δ f 0 f 0

Substituindo numericamente, vamos obter que

χ =   - 2 5,9989   M H z - 6,0000   m H z 6,0000   M H z  

χ = 3,7 × 10 - 4

Passo 5

Pronto! Finalizamos a questão 😊. Nos vemos na próxima questão. OK? Até mais.

Resposta

a )   L = 3,55   m H

b )   C = 0,198   p F

c )   χ = 3,7 × 10 - 4

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