Enunciado

Uma moeda de 15   g , com diâmetro de 1,5   c m , rodopia a 10   r e v / s em torno de um eixo vertical. Ela rodopia sobre a borda, com seu centro diretamente acima do ponto de contato com a mesa. Olhando de cima, você vê a moeda rodopiar no sentido horário. (a) Qual é a quantidade de movimento angular (incluindo a orientação) da moeda em relação ao seu centro de massa? (Para o momento de inercia em relação ao eixo, veja a Tabela 9-1.) Trate a moeda como um cilindro de comprimento L , no limite em que L tende a zero. (b) Qual é a quantidade de movimento angular (incluindo a orientação) da moeda em relação a um ponto da mesa a 10   c m do eixo? (c) Agora, o centro de massa da moeda se desloca sobre a mesa para o leste em uma linha reta, a 5,0   c m / s , com a moeda rodopiando da mesma maneira que na parte (a). Qual é a quantidade de movimento angular (incluindo a orientação) da moeda em relação a um ponto da linha sobre a qual se desloca o centro de massa? (d) Deslizando e rodopiando, qual é a quantidade de movimento angular (incluindo a orientação) da moeda em relação a um ponto que está 10   c m ao norte da linha sobre a qual se desloca o centro de massa?

Passo 1

Cara, temos uma moeda girando em várias situações, e ele quer a quantidade de momento angular em todas elas. Primeiro a gente vai lá na tabela 9-1 pegar a expressão do momento de inércia para a moeda.

Ele disse para imaginar que a moeda é um cilindro com L → 0 . O momento de inércia do cilindro de raio R e comprimenro L é

I = 1 4 M R 2 + 1 12 M L 2

Fazendo L → 0 , ficamos com

I = 1 4 M R 2       ( i )

Então essa vai ser a expressão do nosso momento de inércia.

Vamos agora olhar item por item. Vem comigo!

Passo 2

(a) Nesse primeiro item queremos a quantidade de movimento angular em relação ao CM! Então podemos usar a fórmulinha

L = I ω

Usando ( i ) :

L = 1 4 M R 2 ω

L = 1 4 M R 2 ω

Temos a velocidade angular em r e v / s , precisamos passa-la para r a d / s . Para isso, vamos multiplicar nossa velocidade por 2 π (o valor em radianos de cada revolução). Fica

ω = 10 r e v s = 10 r e v s × 2 π   r a d r e v = 20 π   r a d / s

Substituindo tudo na nossa fórmulinha

L = 1 4 0,015 k g ⋅ 0,0075 m 2 20 π r a d s = 1,33 ⋅ 10 - 5   k g ⋅ m 2 s  

Fazendo a regra da mão direita para achar a orientação! Basta girar a mão no sentido horário (sentido que a moeda ta girando) e vemos que está entrando do plano do papel!

Passo 3

(b) Agora a nossa situação muda, porque queremos a quantidade de momento angular em um ponto fora da moeda. O I continua o mesmo. Mas como estamos falando de um ponto externo, precisamos fazer

L t o t a l   = L s p i n + L o r b i t a l

L s p i n é o momento angular em relação ao eixo que passa pelo CM da moeda, ou seja, é o que a gente acabou de calcular na letra a). L o r b i t a l é o momento angular em relação ao eixo que passa pelo ponto dado. Ele tem essa fórmulinha:

L → o r b = r → c m × M v → c m

Sendo que v → c m é a velocidade do centro de massa da moeda. Mas olha nossa situação. A moeda só gira em torno dela mesma. O seu CM não se mexe. Então temos que v → c m = 0 .

Assim L o r b = 0 . E nosso momento angular fica

L t o t a l   = L s p i n + L o r b i t a l = 1,33 ⋅ 10 - 5   k g ⋅ m 2 s + 0

L t o t a l   = 1,33 ⋅ 10 - 5   k g ⋅ m 2 s

A orientação também vai ser a mesma do item anterior, o vetor vai estar entrando na folha, já que a moeda continua girando no sentido horário.

Passo 4

(c) Essa é bem pareciada com a anterior, queremos o movimento angular em um ponto P externo a moeda, então vamos usar

L t o t a l   = L s p i n + L o r b i t a l

Mas agora o CM se mexe, então ele tem velocidade. Mas a olha nossa situação:

Lembra da fórmulinha

L → o r b = r → c m × M v → c m

Esse vetor r → c m é o vetor que sai do ponto P e vai até o CM da nossa moeda. Como o ponto P está sobre a trajetória do CM da moeda, os vetores r → c m e v → c m estão na mesma direção. O que faz com que o produto vetorial zere. Assim, temos novamente L o r b i t a l = 0 .

Dessa forma, nosso momento angular fica igual ao do item a) novamente

L t o t a l   = 1,33 ⋅ 10 - 5   k g ⋅ m 2 s

Para acharmos a orientação, basta fazermos a regra da mão direita! Rodando no sentido horário, vemos que o vetor está entrando no papel!

Passo 5

(d) Agora nosso ponto não está mais sobre a linha do centro de massa!! Temos a situação:

Vamos usar

L t o t a l   = L s p i n + L o r b i t a l

Para o L o r b i t a l :

L → o r b = r → c m × M v → c m

Percebe no desenho que o ângulo entre os dois vetores é de 90 ° , então o módulo desse produto vetorial pode ser calculado por

L o r b i t a l = M v r

Sendo r a distância entre o ponto P e o CM. Calculando

L o r b i t a l = ( 0,015 k g ⋅ 0,050 m s 0,1 m

Mas repara que em relação ao eixo que passa pelo CM, a moeda gira no sentido horário, mas em relação ao ponto P , ela vai girar no sentido anti-horário, por causa do sentido da velocidade. Sendo assim, L o r b i t a l e L s p i n   vão ter sentidos opostos. Logo, sinais opostos.

Vamos considerar que o sentido horário é o positivo, assim, temos que

L s p i n = 1,33 ⋅ 10 - 5   k g ⋅ m 2 s

A quantidade de momento angular total é

L = - 0,015 k g ⋅ 0,050 m s 0,1 m + 1,33 ⋅ 10 - 5   k g ⋅ m 2 s

O L o r b i t a l ficou negativo porque ele está no sentido anti-horário.

Calculando

L = - 6,2 ⋅ 10 - 5   k g ⋅ m 2 s

Esse sinal de menos indica que estamos no sentido inverso ao sentido horário, logo no anti-horário. Usando a regra da mão direita no sentido anti-horário, o vetor está apontando para gente, isto é, saindo do plano do papel.

Obs: Ficamos diferente do gabarito nesse ultimo item, mas acreditamos que há um errinho no gabarito, ok? Por ele não considerar que os momentos angulares estão em sentidos opostos.

Resposta

(a)   L = 1,33 ⋅ 10 - 5   k g ⋅ m 2 s entrando no plano do papel

(b)   L = 1,33 ⋅ 10 - 5   k g ⋅ m 2 s   entrando no plano do papel

(c)   L = 1,33 ⋅ 10 - 5   k g ⋅ m 2 s   entrando no plano do papel

(d)   L = 6,2 ⋅ 10 - 5   k g ⋅ m 2 s saindo do plano do papel

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