Enunciado

Um mol de um gás ideal, com C V = 3 2 R , a 17 ° C , tem sua pressão reduzida à metade por um dos quatro processos seguintes: (i) a volume constante; (ii) isotermicamente; (iii) adiabaticamente; (iv) por expansão livre. Para um volume inicial V i , calcule, para cada um dos quatro processos, o volume e a temperatura finais, Δ W e Δ U .

Passo 1

Vamos começar pelo processo (i), que ocorre a volume constante.

Primeiro, vamos usar a lei dos gases ideais para calcular a temperatura final:

P i V i T i = P f V f T f

Podemos cortar V f e V i , e sabemos que P i = 2 P f , então:

T f = P f p i   T i = 1 2 T i

E a temperatura inicial é T i = 17 + 273 = 290   K , então:

T f = 290 2 = 145   K

Depois, vamos calcular a variação da energia interna usando uma fórmula:

Δ U = n C v Δ T = 1 3 2 9,31 145 - 290 = - 1807   J

E para o trabalho só precisamos notar que, se o volume é constante, então W = 0 . Ou seja:

V f = V i T f = 145   K Δ U = - 1807   J W = 0

Passo 2

O processo (ii) ocorre a temperatura constante. Para calcular o trabalho realizado precisamos saber a razão entre os volumes final e inicial:

P i V i T i = P f V f T f

Podemos cortar T i e T f e substituir P i = 2 P f , então:

V f V i = P i P f = 2

E agora podemos usar a fórmula para o trabalho em um processo isotérmico:

W = n R T ln ⁡ V f V i = 1 8,31 290 ln ⁡ 2 = 1678   J

A temperatura final é simplesmente igual à inicial, e como Δ T = 0 , não há variação da energia interna.

V f = 2 V i T = 290   K Δ U = 0 W = 1678   J

Passo 3

O processo (iii) é adiabático, então podemos usar a seguinte relação:

P i V i γ = P f V f γ

E temos que calcular esse fator γ usando a fórmula:

γ = C p C v = 3 2 R + R 3 2 R = 5 3

E com isso podemos encontrar uma relação entre V f e V i :

V f γ = P i P f V i γ

V f γ = 2 V i γ

E elevando os dois lados a 1 / γ :

V f = 2 3 / 5     V i = 1,51   V i

Podemos substituir isso na lei dos gases ideais para encontrar a temperatura final:

P i V i T i = P f V f T f

2 P f V i T i = P f 1,51   V i T f

T f = 1,51 2 290 ≈ 220   K

E então a variação de energia interna é:

Δ U = n C v Δ T = 1 3 2 8,31 219 - 290 = - 897   J

Como o processo é adiabático ( Q = 0 ), pela primeira lei da termodinâmica temos:

Δ U = Q - W

W = - Δ U

W = 897   J

Então:

V f = 1,51   V i T f = 220   K Δ U = - 897   J W = 897   J

Passo 4

O processo (iv) é uma expansão livre, então não temos variação de energia interna e nem trabalho:

W = 0

Δ U = 0

Isso quer dizer que também não temos variação de temperatura:

Δ T = 0         ⇒         T f = T i = 290   K

A única mudança acontece no volume, já que estamos falando de uma expansão:

P i V i T i = P f V f T f

Onde P i = 2 P f e T i = T f :

2 V i = V f

Ou seja:

V f = 2 V i T f = 290   K Δ U = 0 W = 0

Resposta

(i) V f = 2 V i . T f = 145   K , Δ U = - 1807   J e W = 0 .

(ii) V f = 2   V i , T f = 290   K , Δ U = 0 e W = 1670   J .

(iii) V f = 1,51   V i , T f = 220   K , Δ U = - 897   J e W = 897   J .

(iv) V f = 2 V i , T f = 290   K , W = 0 e Δ U = 0 .

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