Enunciado

Um mol de um gás ideal, contido num recipiente munido de um pistão móvel, inicialmente a 20 ° C , se expande isotermicamente até que seu volume aumenta de 50 % . A seguir, é contraído, mantendo a pressão constante, até voltar ao volume inicial. Finalmente, é aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial. (a) Desenhe o diagrama P - V associado; (b) Calcule o trabalho total realizado pelo gás neste processo.

Passo 1

(a) Podemos desenhar o diagrama P - V da seguinte forma:

E podemos usar a lei dos gases entre os pontos A e B :

P A V A T A = P B V B T B

A temperatura é igual nos dois pontos, então podemos cortar T A e T B :

P A V A = P B V B

Agora vamos substituir com a notação que usamos no desenho:

P 0 V 0 = P 1 1,5 V 0

P 1 = 2 3 P 0

Então:

Passo 2

(b) Para calcular o trabalho realizado durante um ciclo completo, vamos começar pelo trecho A B .

A fórmula para o trabalho realizado por um gás durante um processo isotérmico é a seguinte:

W A B = ∫ P   d V

Então podemos reescrever a pressão P usando a lei dos gases ideais:

W A B = ∫ V i V f n R T V   d V

Para resolver essa integral , primeiro tiramos as constantes:

W A B = n R T ∫ V 0 1,5   V 0 d V V

W A B = n R T ln ⁡ 1,5 V 0 V 0

O enunciado já diz que n = 1   m o l e T = 20 + 273 = 293   K , vamos usar R = 8,31 J m o l ∙ K :

W A B = 1 8,31 293 ln ⁡ 1,5

W A B ≈ 987   J

Passo 3

No trecho B C , podemos usar a fórmula para o trabalho à pressão constante:

W B C = P Δ V

W B C = 2 3 P 0 V 0 - 1,5 V 0 = - 1 3 P 0 V 0

E podemos substituir P 0 V 0 usando a lei dos gases ideais:

P 0 V 0 = n R T 0

Então:

W B C = - 1 3 n R T 0 = - 1 3 1,0 8,31 293 = - 812   J

E o gás não realiza nenhum trabalho no trajeto C A , então o trabalho de um ciclo completo é:

W = 987 - 812 = 175   J

Resposta

(a) Ver desenho.

(b) O trabalho total é W = 175   J .

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