Enunciado

Quando uma molécula diatômica hipotética com átomos a uma distância de 0,886 n m entre si passa por uma transição rotacional do estado l = 2   até o próximo estado inferior, ela emite um fóton com 8,841 × 10 - 4 e V de energia. Quando a molécula passa por uma transição vibracional de um estado de energia até o próximo estado de energia inferior, ela perde 0,256 e V . Ache a constante da mola dessa molécula.

Passo 1

Olá, tudo bem?

Bom, o enunciado nos deu dois valores de energia e nos pediu a constante da mola. Então, a partir da energia rotacional, a gente pode descobrir a massa dessa molécula, certo? E com isso e com a energia vibracional, podemos determinar a constante da mola. Sacou?

Vou fazer aos poucos, calma lá!

Passo 2

Começando pela energia rotacional. Sabemos que essa molécula sai do estado l = 2 para o l = 1 , e lembrando da fórmula para a energia em um estado l :

E r = l l + 1 ℏ 2 2 I

E a variação entre esses estados vai ser:

Δ E = ℏ 2 2 I 2 2 + 1 - 1 1 + 1 = ℏ 2 2 I 2 3 - 2 = 4 ℏ 2 2 I = 2 ℏ 2 I

Mas calma lá! A variação de energia entre os estados dados foi dada e é 8,841 × 10 - 4 e V , e lembrando que o momento de inércia I é m r 0 2 , então daqui podemos resolver pra achar a massa, saca só:

Δ E = 2 ℏ 2 I = 2 ℏ 2 m r 0 2 = Δ E

m = 2 ℏ 2 r 0 2 Δ E = 2 ( 1,055 × 10 - 34 . 6,583 × 10 - 16 ) 0,886 × 10 - 9 2 . 8,841 × 10 - 4 = 2,0014 × 10 - 28 k g

Passo 3

Agora vamos olhar pra variação de energia vibracional. Lembrando que ela é dada pela seguinte fórmula:

Δ E n = n + 1 2 ℏ ω

E sabemos desde muuuito antes, que a frequência angular se relaciona com a constante da mola do sistema massa mola associado da seguinte maneira:

ω = k ' m

Daí como temos níveis consecutivos de energia, tipo n = 2 → n = 1 o parênteses fica assim:

2 + 1 2 - 1 + 1 2 = 2 - 1 = 1

Então entre níveis consecutivos a energia é ℏ ω . A energia foi dada, calculamos a massa que vai ali no denominador da frequência, então agora é só substituir tudo, isolar k ' e jogar todos os dados na calculadora:

Δ E n = ℏ ω = ℏ k ' m

Δ E n ℏ 2 = k ' m  

k ' = m Δ E n ℏ 2

k ' = 2,0014 × 10 - 28 . 0,256 2 6,583 × 10 - 16 2 = 30,27 N / m

Resposta

30,27 N / m

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