Enunciado

Mostre que, no interior de uma ímã permanente (Seç. 11.8), podemos introduzir para o campo H → um novo potencial escalar magnético ξ tal que H → = - ∇ ξ , onde ξ está relacionado com a magnetização M → do meio por

Δ ξ = ∇ ⋅ M → = - ρ m

e ρ m simula a densidade de ‘carga magnética’. Comparando com a equação de Poisson da eletrostática, resulta que podemos calcular H → , se M → for conhecido, usando um análogo da lei de Coulomb, em que ρ m faz o papel de ρ / ε 0 .

Passo 1

Sabemos que o campo H → é dado por

∇ × H → = j →

onde j → são as correntes livres. No interior de um ímã permanente, não há correntes livres, de modo que j → = 0 → . Assim,

∇ × H → = 0 →

Isso significa que dentro do ímã, o campo H → é irrotacional.

Agora você deve lembrar de uma identidade importante do cálculo vetorial: o rotacional de um gradiente é nulo:

∇ × ∇ f = 0 →

Assim, se um campo vetorial tem rotacional nulo, ele pode ser escrito como rotacional de um campo escalar. Assim,

H → = ∇ f

Por uma questão de simplicidade, vamos definir ξ = - f . Assim, podemos escrever

H → = - ∇ ξ

Passo 2

Agora você deve lembrar que o laplaciano de um campo escalar é o divergente do gradiente:

∇ 2 f = Δ f = ∇ ⋅ ∇ f

Assim, o laplaciano de ξ é

Δ ξ = ∇ ⋅ ∇ ξ

Mas ∇ ξ = - H → . Assim,

Δ ξ = ∇ ⋅ - H → = - ∇ ⋅ H →

Mas você deve lembrar que

∇ ⋅ H → = - ∇ ⋅ M →

Portanto,

Δ ξ = ∇   ⋅ M →

Para obter uma expressão semelhante a equação de Poisson, vamos definir ∇ ⋅ M → = - ρ m , onde ρ m simula a densidade de carga magnética.

Com isso, achamos que no interior de um ímã permanente:

H → = - ∇ ξ             e             Δ ξ = ∇ ⋅ M → = - ρ m

Lembrando que a equação de Poisson era

Δ V = - ρ ε 0

Portanto, para achar H → , basta usar um análogo da lei de Coulomb

E →         e       ρ ε 0           →         H →         e         ρ m

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma bobina circular, de uma só espira, de raio 12 cm, transporta uma corrente de 15 A. Em seu centro é colocada uma bobina de 0.82 cm de raio, com 50 espiras e percorrida por uma corrente de 1.3 A. (a
No Exercício 65 (Fig. 31-62), considere a separação das bobinas uma variável s (não-necessariamente igual ao raio das bobinas, R). (a) Mostre que a primeira derivada do campo magnético (dB/dx) se anul
O módulo B(x) do campo magnético em pontos sobre o eixo de uma espira de corrente quadrada, de lado a é dado no Problema 20. (a) Mostre que o campo magnético axial para esta espira, para xa é o de um
(a) Um fio longo é curvado na forma mostrada na Fig. 31-65 sem que haja contato no cruzamento em P. O raio do trecho circular é R. Determine o módulo, a direção e o sentido de B no centro C da parte c
Duas bobinas, de 300 espiras cada uma, são percorridas por uma corrente i. Elas estão separadas por uma distância igual ao raio delas, como se vê na Fig. 31-62. Para R = 5.0 cm e i= 50 A, faça o gráfi