Enunciado

No problema anterior, a área da secção reta do anel é de 1   c m 2 . Calcule:

a) a energia armazenada no interior do ferro;

b) a energia armazenada no entreferro;

c) a auto-indutância do sistema.

Passo 1

A relação para a densidade de energia u armazenada no campo magnético é

d u = H → ⋅ d B →

Mas como B → = μ   H → , assim

d u = 1 μ B → ⋅ d B → ⇒ u = B 2 2 μ

No exercício anterior, encontramos que dentro do ferro:

μ μ 0 = 1,22 ⋅ 10 3 ⇒ μ = 1,22 ⋅ 10 3 ⋅ 4 π ⋅ 10 - 7 = 1,53 ⋅ 10 - 3   T m / A

Além disso, sabemos que campo magnético é B = 1   T tanto no entreferro como no ferro.

Com isso, a densidade de energia dentro do ferro é

u = 1 2 2 ⋅ 1,53 ⋅ 10 - 3 = 3 , 23 ⋅ 10 2   J / m 3

O volume do toro é

V o l = 2 π r m e d ⋅ A s e c ç ã o

Sabemos do exercício anterior que r m e d = 5   c m = 5 ⋅ 10 - 2   m e no enunciado desse problema foi dito que

A s e c ç ã o = 1   c m 2 = 10 - 4   m 2

Assim,

V o l = 2 π ⋅ 5 ⋅ 10 - 2 ⋅ 10 - 4 = 3,14 ⋅ 10 - 5   m 3

A energia total armazenada no interior do ferro é

U B = u ⋅ V o l = 3 , 23 ⋅ 10 2 ⋅ 3,14 ⋅ 10 - 5

Assim,

U B = 0,01   J

Passo 2

No entreferro, temos que

u = B 2 2 μ 0

O campo magnético continua sendo B = 1   T :

u = 1 2 2 ⋅ 4 π ⋅ 10 - 7 = 3 , 93 ⋅ 10 5   J / m 3

Repare que no entreferro a densidade de energia é muito maior que no ferro! Mas se volume é muito menor:

V o l = A s e c ç ã o ⋅ c o m p r i m e n t o   e n t r e f e r r o

Assim,

V o l = 10 - 4 ⋅ 10 - 3 = 10 - 7   m 3

Logo,

U B = u   V o l = 3 , 93 ⋅ 10 5 ⋅ 10 - 7

Portanto,

U B = 0,04   J

Essa é a resposta do item (b).

Passo 3

O fluxo magnético no sistema é

Φ = N B A s e c ç ã o

Assim,

Φ = 1000 ⋅ 1 ⋅ 10 - 4 = 0,1   W b

Como

Φ = L   I

Temos que

L = Φ I = 0,1 1

Portanto, a autoinditância do sistema é

L = 0,1   H

Resposta

U B = 0,01   J

U B = 0,04   J

L = 0,1   H

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