Enunciado

Mostre que a meia-largura fracionai de uma curva de ressonância (veja o Problema 21) é dada por

Δ ω ω 0 = 3 C L R

Em que ω 0 é a frequência angular na ressonância e Δ ω é a largura da curva de ressonância na metade da amplitude máxima. Note que Δ ω ω 0 diminui com R , como mostra a Fig. 35 -6. Use esta fórmula para conferir a resposta do Problema 21d.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No circuito RLC, a amplitude da corrente no circuito é dada por:

I = ε m Z     ( 1 )

Onde ε m é a amplitude da fem. Z é a impedância, que é dada por:

Z = R 2 + X L - X C 2  

Onde X L = L ω d ​ é a reatância da indutância e X C = 1 C ω d ​ é a reatância capacitiva (observe que ω d ​ é a frequência angular da fonte), substitua em (1) para obter:

I = ε m R 2 + L ω d - 1 C ω d 2     ( 2 )

Igualando a corrente na equação (2) com a metade da corrente máxima na equação (1), podemos encontrar ω d , então:

ε m 2 R = ε m R 2 + L ω d - 1 C ω d 2

Desenvolvendo os termos

R 2 + L ω d - 1 C ω d 2 = 4 R 2

Simplificando o termo quadrático

L ω d - 1 C ω d = ± 3 R → L ω d - 1 C ω d ∓ 3 R = 0

Multiplicando por ω d , para obter

L ω d 2 ∓ 3 R ω d - 1 C = 0

Passo 2

Que é uma equação quadrática (vamos resolver para o termo positivo e depois para o termo negativo), e tem uma solução de:

ω d = - 3 R ± 3 R 2 + 4 L C 2 L

O mínimo se resume em

ω d , m i n = - 3 R + 3 R 2 + 4 L C 2 L

E para o termo negativo, nós temos que

ω d , m a x = 3 R + 3 R 2 + 4 L C 2 L

A meia largura fracionária é dada por

Δ ω d ω d = ω d , m a x - ω d , m i n ω d

Substituindo os termos (notando que ω d = 1 L C )

Δ ω d ω d = L C 3 R + 3 R 2 + 4 L C 2 L - - 3 R + 3 R 2 + 4 L C 2 L = 2 3 L C R 2 L

Com isso, obtemos que

Δ ω d ω d = R 3 C L

Resposta

Δ ω d ω d = R 3 C L

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