Enunciado

(a) Mostre que, para uma onda sonora harmônica de frequência angular ω , em três dimensões, num fluido cuja densidade de equilíbrio é ρ 0 , o deslocamento u → (que neste caso é um vetor!) está relacionado com a pressão por: g r a d   p = ρ 0 ω 2 u → . (b) Considere uma onda sonora harmônica que se propaga no semi-espaço x > 0 , com p = p x , y , z , t , e suponha que o plano x = 0 é uma parede fixa, rígida. Mostre, utilizando o resultado da parte (a), que p tem de satisfazer a condição de contorno ∂ p / ∂ x = 0 para x = 0 , qualquer que seja t . Em particular, isto vale na extremidade fechada de um tubo de órgão.

Passo 1

(a) Aqui vamos ter que usar uma equação que vimos na parte de hidrodinâmica do livro.

ρ 0 a → = f → - ∇ p

Onde ρ 0 é a densidade do fluido, a → é a aceleração de uma partícula no fluido, f → é a densidade de força e p é a pressão.

Quando aplicamos essa equação para uma onda sonora, a densidade de força é nula, porque nenhuma força externa é aplicada:

ρ 0 a → = - ∇ p

Agora vamos tentar escrever esse vetor a → e, função do deslocamento u → .

Passo 2

Para uma onda em três dimensões, o vetor de deslocamento u → é:

u → = A cos ⁡ k → ∙ r → - ω t + ϕ

E a aceleração é simplesmente a segunda derivada desse vetor em relação ao tempo:

∂ u → ∂ t = v → = - ω A sen ⁡ ( k → ∙ r → - ω t + ϕ )  

E derivando mais uma vez:

∂ 2 u → ∂ t 2 = a → = - ω 2 A cos ⁡ ( k → ∙ r → - ω t + ϕ )  

a → = - ω 2 u →

Agora podemos substituir isso na fórmula de cima:

- ρ 0 ω 2 u → = - ∇ p

∇ p = ρ ω 2   u →

Que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 3

(b) Vamos escrever um lado da equação que acabamos de demonstrar em termos das componentes i ^ ,   j ^ e k ^ :

∂ p ∂ x i ^ + ∂ p ∂ y j ^ + ∂ p ∂ z k ^ = ρ ω 2 u →  

Vamos pegar apenas a componente x dessa igualdade (isso é o mesmo que fazer o produto interno dos dois lados por i ^ ):

∂ p ∂ x = ρ ω 2 u x

Se x = 0 é uma parede fixa e rígida, então em x = 0 temos u x = 0 :

∂ p ∂ x = 0

Que é o que queríamos demonstrar.

Resposta

Demonstração.

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