Enunciado

Um poço com paredes verticais e água no fundo ressoa em 7,0 H z e em nenhuma outra frequência mais baixa. (A parte do poço cheia de ar se comporta como um tubo com uma extremidade aberta e outra fechada) O ar no interior do poço tem uma massa específica de 1,10 k g /   m ³   e um módulo de elasticidade volumétrico de 1,33.10 5 P a . A que profundidade está a superfície da água?

Passo 1

Vamos pensar no perfil harmônico de um tubo fechado (em uma das extremidades).

A fórmula que relaciona a frequência f n com seu harmônico n é

f n = ( 2 n - 1 ) 4 v L

Dá uma olhada no desenho que fica mais claro:

Como a frequência fundamental é a mais baixa de todas frequências admitidas pelo poço, temos que f 1 = 7 H z . A profundidade da água coincide com o tamanho do poço, que vou chamar de L . Mas para determinar L , precisamos saber com qual velocidade essa onda se propaga no poço.

Passo 2

O problema nos dá a densidade do ar ( ρ ) e o módulo da elasticidade volumétrica ( κ ) dentro do poço, e com esses dados podemos calcular a velocidade de propagação:

v 2 = κ / ρ

v = 1,33.10 5 1,1 = 347,71 m / s

Passo 3

Sabendo a frequência fundamental e a velocidade podemos então calcular o tamanho o tubo L :

f n = ( 2 n - 1 ) 4 v L

7 = ( 2.1 - 1 ) 4 347,71 L

7.4 = 347,71 L

L = 347,71 28 = 12,4 m

Assim chegamos ao valor de 1 2,4 para a profundidade da superfície da água.

Resposta

12,4 m

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