Enunciado

Num relógio de pêndulo, o pêndulo é uma barra metálica, projetada para que seu período de oscilação seja igual a 1   s . Verifica-se que, no inverno, quando a temperaturá média é de 10 ° C , o relógio adianta, em média 55   s por semana; no verão, quando a temperatura média é de 30 ° C , o relógio atrasa, em média 1 minuto por semana. (a) Calcule o coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo. (b) A que temperatura o relógio funcionaria com precisão?

Passo 1

Vamos lembrar da fórmula para o período de um pêndulo:

τ = 2 π L g

Essa fórmula nos diz que, quando o comprimento do pêndulo variar por conta da dilatação, o seu período também vai mudar.

O relógio foi projetado para funcionar com um período de 1 segundo, então o período correto é:

τ 0 = 1   s

Se o relógio adianta 55   s por semana no inverno, isso quer dizer que o período no inverno diminui um pouco (ou seja, ele oscila mais rápido do que deveria):

τ i n v = 1 - 55 24 60 60 7 = 1 - 55 604   800

Aqui nós simplesmente dividimos os 55   s de adiantamento pelo número de segundos em uma semana. Assim descobrimos qual é a mudança em cada período.

No verão, o relógio atrasa 60   s por semana, então seu período aumenta um pouco (ele oscila mais devagar do que deveria) então:

τ v e r = 1 + 60 24 60 60 7 = 1 + 60 604   800

Passo 2

Usando essas informações podemos calcular qual deve ser o comprimento do pêndulo em cada uma das estações.

τ = 2 π L g

L = g τ 2 4 π 2

Quando o pêndulo está no período correto, temos:

L 0 = g τ 0 2 4 π 2         ⇒       g L 0 = 4 π 2 τ 0 2 = 4 π 2

Para o verão e o inverno, temos que considerar a dilatação do comprimento:

L 0 1 + α Δ T = g τ 2 4 π 2

1 + α Δ T = τ 2 4 π 2 g L 0

E usando o fato de que g / L 0 = 4 π 2 :

1 + α Δ T = τ 2

Com isso podemos escrever um sistema:

τ i n v 2 = 1 + α 10 - T τ v e r 2 = 1 + α 30 - T

Onde T é a temperatura do pêndulo quando está com o período correto.

Passo 3

Agora vamos resolver o sistema para encontrar α . Subtraindo a segunda equação da segunda, temos:

τ i n v 2 - τ v e r 2 = α 10 - T - α 30 - T

τ i n v 2 - τ v e r 2 = - 20 α

Substituindo os valores numéricos:

1 - 55 604   800 2 - 1 + 60 604   800 2 = - 20 α

0,99981813 - 1,000198423 = - 20 α

α = 3,80293 × 10 - 4 20 ≈ 1,9 × 10 - 5   / ° C

Passo 4

E agora, para determinar o valor da temperatura ideal T , é só usar qualquer uma das duas equações do nosso sistema:

τ i n v 2 = 1 + α 10 - T

Substituindo os valores numéricos:

1 - 55 604   800 2 = 1 + 1,9 × 10 - 5   10 - T

0,99981813 = 1 + 1,9 × 10 - 5   10 - T

T = 10 - 0,99981813 - 1 1,9 × 10 - 5

T = 19,6 ° C

Resposta

(a) O coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo é α = 1,9 × 10 - 5 .

(b) A temperatura correta para o funcionamento do relógio é 19,6 ° C .

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