Enunciado

a) Mostre que um projétil de massa m pode “escapar” da superfície de um planeta quando ele for lançado verticalmente com uma energia cinética maior que m g R p , onde g é a gravidade na superfície do planeta e R p é o raio do planeta. Despreze a resistência do ar. (Ver Problema 18.76.)

b) Caso o planeta considerado seja a Terra, em que temperatura a energia cinética translacional média da molécula de nitrogênio (massa molar = 28,0 g/mol) se torna igual a energia cinética necessária para escapar? E a molécula de hidrogênio (massa molar = 2,02   g / m o l ) ?

c) Repita o item (b) para a Lua onde g = 1,63   m / s 2 e R p = 1740   k m .

d) Enquanto a Terra e a Lua possuem temperaturas médias na superfície aproximadamente iguais, a Lua não possui atmosfera. Use os resultados dos itens (b) e (c) para explicar o por quê.

Passo 1

a) Por conservação de energia temos:

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

Onde 1 é o ponto no qual o projeto será lançado e 2 é um ponto longe da superfície do planeta.

Temos que U 1 = - G m m p / R p , a distância do ponto dois em relação ao planeta tende ao infinito, logo U 2 tende a zero, a velocidade no ponto 2 ende a zero pois queremos que a nave pare no infinito logo K 2 também tende a zero, desta forma teremos:

K 1 - G m m p R p = 0

K 1 = G m m p R p

Mas g = G m p / R p 2 então, a energia cinética no ponto 1 fica:

K 1 = m g R p

Passo 2

b) A energia cinética média de uma molécula é dada por K = 1 2 m v m e d 2 = 3 2 k T , supondo que K 1 seja uma energia cinética média de uma molécula, teremos:

1 2 m v m e d 2 = 3 2 k T = m g R p

Desta forma podemos isolar a temperatura, obtendo:

T = 2 m g R p 3 k

Então agora podemos calcular qual será a temperatura para os átomos de nitrogênio e hidrogênio.

Para o átomo de nitrogênio temos que a sua massa é:

m N 2 = 28 ⋅ 10 - 3 k g / m o l 6,022 ⋅ 10 23   m o l e c u l a s / m o l = 4,65 ⋅ 10 - 26 k g / m o l e c u l a

Então a temperatura será:

T = 2 m g R p 3 k = 2 4,65 ⋅ 10 - 26 k g / m o l e c u l a 9,8 m s 2 6,38 ⋅ 10 6 m 3 1,381 ⋅ 10 - 28 J m o l e c u l a ⋅ K   = 1,40 ⋅ 10 5 K

Para o átomo de hidrogênio a sua massa é:

m H 2 = 2 , 02 ⋅ 10 - 3 k g / m o l 6,022 ⋅ 10 23   m o l e c u l a s / m o l = 3,354 ⋅ 10 - 2 7 k g / m o l e c u l a

Então a temperatura será:

T = 2 m g R p 3 k = 2 3,354 ⋅ 10 - 27 k g / m o l e c u l a 9,8 m s 2 6,38 ⋅ 10 6 m 3 1,381 ⋅ 10 - 28 J m o l e c u l a ⋅ K   = 1,0 1 ⋅ 10 4 K

Passo 3

c) Aqui os cálculos serão os mesmos do item (b) só precisamos mudar alguns valores.

Para o nitrogênio temos:

T = 2 m g R p 3 k = 2 4,65 ⋅ 10 - 26 k g / m o l e c u l a 1,63 m s 2 1,74 ⋅ 10 6 m 3 1,381 ⋅ 10 - 28 J m o l e c u l a ⋅ K   = 6730   K

Para o hidrogênio temos:

T = 2 m g R p 3 k = 2 3,354 ⋅ 10 - 27 k g / m o l e c u l a 1,63 m s 2 1,74 ⋅ 10 6 m 3 1,381 ⋅ 10 - 28 J m o l e c u l a ⋅ K   = 459   K

Passo 4

d) As temperaturas de escape são muito menores para a Lua do que para a Terra. Então na Lua a maior parte das frações das moléculas existentes em uma determinada temperatura terão velocidades maiores do que a velocidade de escape desta forma ao longo do tempo quase todas as moléculas terão escapado da Lua, enquanto na Terra isso não ocorre e as moléculas ficam presas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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