Enunciado

94. Você deseja construir um pêndulo com um período de 4,00   s em um local onde g = 9,80   m / s 2 . a ) Qual é o comprimento de um pêndulo simples com esse período? b ) Suponha que o pêndulo deve ser montado em uma caixa que não possui mais do que 0,50   m de altura. Você pode imaginar um pêndulo que tenha um período de 4,0   s e que satisfaça a essa condição?

Passo 1

Para realizar o que é pedido no item ( a ) , basta isolar o comprimento L na fórmula do período de um pêndulo simples, dada por:

T = 2 π L g

Depois que isolarmos, basta substituir os valores que temos para T e g .

Agora para resolver o item ( b ) só precisamos saber um valor para d , que é a distância do eixo onde o pendula está preso até o centro de massa, pois o comprimento máximo do pêndulo é o tamanho da caixa ( 0,50   m ) .

Podemos considerar uma barra uniforme de massa M e comprimento L , escolhemos uma barra pois o momento de inércia dela em relação ao centro de massa já é conhecido, assim só usarmos o teorema do eixo paralelo para encontrar o momento em relação ao eixo que passa pelo ponto onde o pêndulo está preso.

Tendo o momento de inércia, vamos usar a fórmula do período de um pêndulo físico para isolar d e encontrarmos um valor que faça com que T = 4,0   s , fórmula é dada por:

T = 2 π I M g d

Passo 2

Vamos resolver o item ( a ) primeiro, já que ele é mais simples, temos que:

T = 2 π L g

Isolando L , temos:

L = T 2 4 π 2 g

Usando os valores de T e g fornecidos pelo enunciado, temos:

L = ( 4 ) 2 4 π 2 ( 9,8 )

⇒ L = 4 π 2 ( 9,8 )

Então, temos:

L = 3,97   m

Passo 3

Agora vamos usar o teorema dos eixos paralelos para encontrar o momento de inercia em relação ao eixo no qual o pêndulo está preso na situação do item ( b ) .

Temos que:

I = I 0 + M R 2

O I 0 que é em relação ao centro de massa, é dado por:

I 0 = 1 12 M L 2

Temos que R = d , já que é R é a distância entre os eixos que passa no centro de massa e no ponto onde o pêndulo é preso, então temos que:

I = 1 12 M L 2 + M d 2

= M 1 12 L 2 + d 2

Passo 4

Agora vamos em busca de um valor para d , temos que:

T = 2 π I M g d

Substituindo o que sabemos, temos:

T = 2 π M 1 12 L 2 + d 2 M g d

Agora podemos isolar d e depois colocar os valores conhecidos de cada parâmetro da fórmula, então:

1 12 L 2 + d 2 g d = T 2 4 π 2

⇒ 1 12 L 2 + d 2 = T 2 4 π 2 g d

Jogando tudo para o mesmo lado, temos:

d 2 - T 2 4 π 2 g d + 1 12 L 2 = 0

Bem dizer ficamos com uma equação do segundo grau em relação a d , vamos substituir os valores de T ,   L e g e depois resolver a equação, assim:

d 2 - 4 2 4 π 2 ( 9,8 ) d + 1 12 ( 0,5 ) 2 = 0

⇒ d 2 - 3,9718 d + 0,02083 = 0

Agora vamos resolver essa equação da forma mais tradicional possível, que é usando Bhaskara, assim:

d = 3,9718 ± 3,9718 2 - 4 0,02083 2  

Temos que:

d 1 = 3,97   m

Ou

d 2 = 0,0053   m

Bem a única possível é d 2 , já que a caixa em que o nosso pêndulo vai ser construído, só tem 0,50   m de comprimento.

Então, temos um pêndulo formado por uma barra de massa M e comprimento L = 0,5   m presa a um eixo a uma distância d = 0,0053   m do seu centro de massa, com período T = 4,0   s .

Resposta

( a )

L = 3,97   m

( b )

Temos um pêndulo formado por uma barra de massa M e comprimento L = 0,5   m presa a um eixo a uma distância d = 0,0053   m do seu centro de massa, com período T = 4,0   s .

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