Enunciado

Mostre que o raio da órbita de uma partícula carregada em cíclotron é proporcional à raiz quadrada do número de órbitas completadas.

Passo 1

Olá pessoal, tudo certo com vocês? Espero que sim 😊. Vamos entender melhor essa questão?

Observe que, podemos aplicar a segunda lei de Newton à partícula carregada em órbita para obter uma expressão para o seu raio em função da energia cinética da sua partícula. Como o ganho de energia por revolução é constante, podemos expressar esta energia cinética como o produto do número de órbitas completadas e da energia ganha por revolução e, portanto, mostrar que o raio é proporcional à raiz quadrada do número de órbitas completadas.

Passo 2

Assim, vamos aplicar a segunda lei de Newton a uma partícula no campo magnético do cíclotron:

q v B = m v 2 r

r = m v q B

Expressamos a energia cinética da partícula em termos da sua velocidade e resolver para v :

K = 1 2 m v 2

v = 2 K m

Passo 3

Note que o ganho de energia por revolução é constante, exprime a energia cinética em termos do número de órbitas N completadas pela partícula e energia E r e v obtida pela partícula cada revolução:

K = N E r e v

Desse modo, substituindo as equações anteriores, observe que

r = m q B 2 K m = 1 q B 2 m K

r =   1 q B 2 m N E r e v = 2 m E r e v q B N 1 / 2  

Ou seja, o raio é proporcional à raiz quadrada do número de órbitas completadas

r   ∝ N 1 / 2

Resposta

r   ∝ N 1 / 2

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