Enunciado

Mostre que, para um dado cíclotrons, a frequência de cíclotron para aceleração de dêuterons é a mesma que a frequência para aceleração de partículas alfa e é metade da frequência para aceleração de prótons no mesmo campo magnético. O dêuteron tem carga igual a do próton e a carga da partícula alfa é igual ao dobro da carga do próton. Considere que m α = 2 m d = 4 m p .

Passo 1

Olá pessoal, tudo certo com vocês? Espero que sim 😊. Vamos entender melhor essa questão?

Observe que, podemos expressar a frequência do cíclotron em termos do raio orbital máximo e velocidade de uma partícula a ser acelerada no cíclotron. Aplicando a segunda lei de Newton, podemos relacionar o raio da órbita da partícula com a sua velocidade e, portanto, expressar a frequência do cíclotron em função da sua relação carga-massa e do campo magnético do cíclotron. Podemos então utilizar dados para as cargas e massas relativas de dêuteron, partículas alfa, e prótons para estabelecer as proporções das suas frequências de cíclotrons.

Passo 2

Assim, vamos expressar a frequência do cíclotron em termos de velocidade e raio orbital de uma partícula:

f = 1 T = 1 2 π r / v = v 2 π r

Aplicando a segunda lei de Newton a uma partícula no campo magnético do cíclotron, vamos obter:

q v B = m v 2 r

r = m v q B

Substituindo por r vamos obter:

f = q B v 2 π m v = B 2 π q m

Passo 3

Avaliando a equação anterior para os dêuteron:

f d =   B 2 π e m d

Avaliando a equação anterior para as partículas alfa:

f α =   B 2 π q α m α =   B 2 π 2 e 2 m d

f α   =   B 2 π e m d  

Avaliando a equação para os prótons:

f p =   B 2 π q p m p =   B 2 π e 1 2 m d

f p = 2 B 2 π e m d  

Logo, obtemos que

1 2 f p = f d = f α

Resposta

1 2 f p = f d = f α

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