Enunciado

Mostre por substituição direta que L d 2 Q d t 2 + R d Q d t + 1 C Q = 0 (Equação 29-43b) é satisfeita para

Q = Q 0 e - t T c o s ⁡ ( w ' t )

Onde

T = 2 L R

w ' = 1 L C - 1 T 2

E Q 0 é a carga no capacitor em t = 0.

Passo 1

Amigos e amigas!

Vamos partir da equação diferencial fornecida pela questão:

L d 2 Q d t 2 + R d Q d t + 1 C Q = 0

Assumindo a solução como sendo:

Q = Q 0 e - t T cos ⁡ w ' t

Vamos!

Sendo:

Q = Q 0 e - t T cos ⁡ w ' t

d Q d t = Q 0 d d t e - t T cos ⁡ w ' t

d Q d t = Q 0 e - t T - w ' s e n w ' t - 1 T cos ⁡ w ' t

d 2 Q d t 2 = Q 0 d d t e - t T ( - w ' s e n w ' t - 1 T cos ⁡ w ' t )

d 2 Q d t 2 = Q 0 e - t T 1 T 2 - w ' 2 cos ⁡ w ' t + 2 w ' T s e n w ' t

Passo 2

Vamos substituir as equações diferenciais encontradas na equação inicial:

L d 2 Q d t 2 + R d Q d t + 1 C Q = 0

L Q 0 e - t T 1 T 2 - w ' 2 cos ⁡ w ' t + 2 w ' T s e n w ' t + R Q 0 e - t T - w ' s e n w ' t - 1 T cos ⁡ w ' t + 1 C Q 0 e - t T cos ⁡ w ' t = 0

Vamos simplificar por Q 0 e por e - t T :

L 1 T 2 - w ' 2 cos ⁡ w ' t + 2 w ' T s e n w ' t + R - w ' s e n w ' t - 1 T cos ⁡ w ' t + 1 C cos ⁡ w ' t = 0

Vamos reescrever a equação na forma:

A c o s w ' t + B s e n w ' t = 0

R w ' - R w ' s e n w ' t + L 1 T 2 - w ' 2 + 1 C - R T cos ⁡ w ' t = 0

L 1 T 2 - w ' 2 + 1 C - R T cos ⁡ w ' t = 0

Como a equação vale para qualquer valor de t:

L 1 T 2 - w ' 2 + 1 C - R T = 0

Isolando w’:

w ' = 1 L C - 1 2 L 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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