Enunciado

16 . || Você esteve visitando um planeta distante. Suas medições determinaram que a massa do planeta é duas vezes maior do que a da Terra, mas a aceleração de queda livre na sua superfície corresponde a apenas um quarto da que existe na Terra.

a . Qual é o raio do planeta?

b . Para voltar à Terra, você precisa escapar do planeta. Qual é a velocidade mínima que o seu foguete precisa atingir?

Passo 1

Presisamos saber previamente que:

Massa da Terra: 5,98 ⋅ 10 24 k g

Raio da Terra: 6,37 ⋅ 10 6 m

g t e r r a = 9,8 m / s 2

Que a velocidade de escape é achada facilmente fazendo:

v e s c a p e = 2 G M R  

E que a gravidade na superfície é achada fazendo:

g = G M R 2

G = 6,67 ⋅ 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2

Passo 2

a . Qual é o raio do planeta?

Fazendo o que a questão informa:

M p = 2 M t e r r a

g p = 1 4 g t e r r a = 1 4 9,8 m / s 2

Substituindo esses dados na fórmula de gravidade:

g p = G M P R P 2

g p = G 2 M t e r r a R P 2

1 4 ⋅ 9,8 m / s 2 = 6,67 ⋅ 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2 2 ⋅ ( 5,98 ⋅ 10 24 k g ) R P 2

R P ≅ 1,8 ⋅ 10 7 m

Passo 3

Aplicação da fórmula de velocidade de escape:

v e s c a p e = 2 G M P R P

v e s c a p e = 2 G ( 2 M t e r r a ) R P

v e s c a p e = ( 2 ) 6,67 ⋅ 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2 ⋅ ( 2 ) ⋅ ( 5,98 ⋅ 10 24 k g   ) 1,8 ⋅ 10 7

v e s c a p e = 9,41 k m / s

Resposta

( a )

R P ≅ 1,8 ⋅ 10 7 m

( b )

v e s c a p e = 9,41 k m / s

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