Enunciado

Mostre que o trabalho total necessário para agregar uma esfera carrega uniformemente que tem uma carga total Q e um raio R é dado por 3 Q 2 / 20 π ε 0 R . A conservação de energia nos diz que este resultado é o mesmo que a energia potencial eletrostática da esfera. Dica: Seja ρ a densidade de carga da esfera que tem carga Q e raio R . Calcule o trabalho d W para trazer uma carga d q do infinito até a superfície de uma esfera uniformemente carregada de raio r ( r < R ) e densidade de carga ρ . (Nenhum trabalho adicional é necessário para arrastar d q através da casca esférica de raio r , espessura d r e densidade de carga ρ . Por quê?)

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos começar lembrando que a energia potencial eletrostática é dada por:

U = q V

onde q é a carga e V é o potencial elétrico no ponto onde q está colocada. Para o nosso caso, estamos falando de cargas infinitesimais, de modo que

d U = V ⋅ d q

A seguir, fazemos a integração para obter toda a energia.

Passo 2

Como d U = V ⋅ d q e

V = k Q i n t r = 1 4 π ε 0 r ⋅ 4 3 π ρ r 3 V = ρ r 2 3 ε 0

Além disso,

q = 4 3 π ρ r 3 ⟹ d q = 4 π ρ r 2   d r

Logo,

d U = ρ r 2 3 ε 0 ⋅ 4 π ρ r 2   d r d U = 4 π ρ 2 3 ε 0 r 4   d r

Finalmente, realizando a integração

U = 4 π ρ 2 3 ε 0 ∫ 0 R r 4   d r = 4 π ρ 2 R 5 15 ε 0

Porém, lembre-se que a densidade é

ρ = Q V = Q 4 3 π R 3 = 3 Q 4 π R 3

Logo,

U = 4 π R 5 15 ε 0 3 Q 4 π R 3 2 = 3 Q 2 20 π ε 0 R

que é o que queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma placa não condutora infinita possui uma densidade superficial de cargas σ = + 5,80p C / m 2 . (a) Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico produzido pela placa se uma partícula de carga q =
O campo elétrico em uma certa região do espaço tem componentes E y = E z = 0 e E x = 4,00N / C x . O ponto A está no eixo y, em y = 3,00 m, e o ponto B está no eixo x, em x = 4,00 m. Qual é a diferenç
Dois planos infinitos, não condutores, uniformemente carregados, são paralelos ao plano yz e posicionados em x = - 50 cm e x = + 50 cm. As densidades de cargas dos planos são - 50n C / m 2 e + 25n C /
Duas placas paralelas condutoras de grande extensão estão separadas por uma distância de 12 cm e possuem densidades superficiais de cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas faces internas.
Uma placa infinita não condutora possui uma densidade superficial de cargas σ = 0,10 μ C / m 2 em uma das faces. Qual é a distância entre duas superfícies equipotenciais cujos potenciais diferem de 50