Enunciado

Em um motor de motocicleta, um pistão é empurrado para baixo, na direção do virabrequim, quando o combustível que está no cilindro entra em ignição, e a mistura de gases da combustão se expande adiabadicamente. Determine a potência média (a) em watts e (b) em horspower desenvolvida durante a expansão se o motor estiver funcionando a 4000   r p m , supondo que a pressão manométrica imediatamente após a explosão é 15   a t m , o volume inicial é 50   c m 3 e o volume máximo do cilindro é 250   c m 3 . Suponha que aos gases são diatômicos e que o tempo gasto na expansão é metade do ciclo total.

Passo 1

Queremos determinar a potência média durante uma expansão adiabática. Para fazer isso precisamos calcular antes o trabalho desenvolvido em cada ciclo.

W = ∫ p   d V

E em uma transformação adiabática, temos:

p i V i γ = p V γ

p = p i   V i V γ

Então:

W = ∫ V i V f p i   V i V γ   d V

W = p i   V i γ ∫ V i V f V - γ   d V

E podemos resolver essa integral:

W = p i V i γ V f 1 - γ - V i 1 - γ 1 - γ

Passo 2

E agora vamos substituir os valores numéricos que foram dados no enunciado:

p i = 15   a t m = 15 1,01.10 5 = 1,515   .   10 6   P a

V i = 50   c m 3 = 50.10 - 6   m 3

V f = 250   c m 3 = 250.10 - 6   m 3

E como o gás é diatômico, sabemos que:

γ = 7 5

Então:

W = p i V i γ V f 1 - γ - V i 1 - γ 1 - γ

W = 1,515.10 6 50.10 - 6 7 5 250.10 - 6 1 - 7 5 - 50.10 - 6 1 - 7 5 1 - 7 5

W = 1,44 27,6 - 52,5 - 0,4 = 89,7   J

Passo 3

(a) Então, se o motor realiza 4000 ciclos por minuto, o tempo de cada ciclo é:

τ = 60   s e g / m i n 4000   c i c l o s / m i n = 0,015 s c i c l o

Mas o processo de expansão do gás (onde ocorre o trabalho W que calculamos), corresponde a apenas metade do ciclo, então:

Δ t = τ 2 = 7,5   .   10 - 3   s

Então a potência é:

P = W Δ t = 89,7 7,5.10 - 3 ≅ 1,2   .   10 4   W

Passo 4

(b) Para converter essa potência em horsepower, temos que nos lembrar da seguinte relação:

1   h p = 746   W

Então:

P = 1,2.10 4   W = 1,2   .   10 4 1 746   h p

P ≅ 16   h p

Resposta

(a) P = 1,2   .   10 4   W .

(b) P = 16   h p .

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