Enunciado

Um relógio de pêndulo com um pêndulo feito de latão indica a hora correta a uma temperatura de 23 ° C . Suponha que se trata de um pêndulo simples, constituído por um peso na extremidade de uma haste de latão, de massa desprezível, suspensa pela outra extremidade. Se a temperatura cair para 0,0 ° C (a) relógio irá adiantar ou atrasar? (b) Qual será o valor absoluto do erro, em segundos por hora?

Passo 1

Sabemos que o período de um pêndulo simples segue a seguinte fórmula:

τ = 2 π   L g

Então quando o valor de L mudar o período vai mudar correspondentemente.

Nesse caso, como estamos tratando de uma queda de temperatura, o comprimento L vai diminuir, e o período τ também vai.

Isso quer dizer que o relógio vai demorar menos tempo para completar uma oscilação, e vai marcar mais passagens de minutos para um mesmo intervalo de tempo.

Ou seja, o relógio vai se adiantar.

Passo 2

(b) Agora vamos calcular o erro absoluto gerado por uma pequena variação de L . Para isso é uma boa ideia derivar T em relação a L :

d τ d L = d d L 2 π   L g = π L g

E podemos escrever essa derivada em termos do próprio τ :

d τ d L = π L g = 1 2 L 2 π   L g = τ 2 L

d τ = 1 2 τ d L L

E então podemos fazer a seguinte aproximação:

Δ τ = 1 2   τ Δ L L

Passo 3

Agora precisamos encontrar uma expressão para Δ L :

Δ L = L α Δ T

Então:

Δ τ = 1 2   τ Δ L L = 1 2   τ α Δ T

Já temos os valores de α e Δ T pelo enunciado. E queremos o atraso em segundos por hora, então o período τ inicial deve estar ajustado (corretamente) para:

τ = 3600 s h o r a

Δ τ = 1 2 ( 3600 ) 19.10 - 6 23

Δ τ = 0,787 s h o r a

Resposta

(a) O relógio vai se adiantar.

(b) O erro absoluto será de 0,787 segundos por hora.

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