Enunciado

O movimento de um elétron se limita ao eixo central de um anel de raio R da Fig . 22-10, com z . Mostre que a força eletrostática a que o elétron é submetido faz com que a partícula oscile em torno do centro do anel com uma frequência angular dada por

ω = e q 4 π ε 0 m R 3

em que q é a carga do anel e m é a massa do elétron.

Passo 1

Olá, meu bom amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui deveremos provar que por conta da força eletroestática que o elétron é submetido, ele oscila em torno de um anel com a frequência angular dada.

Para resolve esse problema, podemos começar com a fórmula para o campo elétrico do anel carregado:

E = q z 4 π ε 0 z 2 + R 2 3 / 2

Essa é a equação 22 - 16 do livro.

Escrevendo a formula que liga o campo elétrico a força exercida no elétron:

F = - e E

Vamos combinar essas relações e ver o que a gente acha!

Passo 2

Agora substituindo a fórmula que encontrarmos do campo elétrico:

F = - e q z 4 π ε 0 z 2 + R 2 3 / 2

No caso em que z é muito menor que R , podemos fazer a seguinte aproximação:

z 2 + R 2 ≈ R 2

Então podemos reescrever a força:

F = - e q z 4 π ε 0 R 3

Vamos relembrar mais uma fórmula, a fórmula para forças restauradoras,

F = - k x

Em que k é uma constante e x o deslocamento.

Comparando as duas equações, temos que:

k = e q 4 π ε 0 R 3

E também, podemos lembrar que para um oscilador harmônico simples:

ω = k m

Substituindo k na nossa relação:

ω = e q 4 π ε 0 m R 3

Resposta

ω = e q 4 π ε 0 m R 3

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