Enunciado

3. O nanômetro de tubo inclinado, utilizado para medir pequenas diferenças de pressão p 1 - p 2 , difere do descrito no problema 2 pela inclinação do ângulo θ do tubo de diâmetro d . Se o fluido empregado é óleo de densidade ρ = 0,8   g / c m 3 , com d = 0,5   c m , D = 2,5   c m , escolha θ para que o deslocamento l   seja de 5   c m quando p 1 - p 2 = 0,001   a t m .

Passo 1

Bora lá pro nosso terceiro probleminha nesse maravilhoso e complicado livro de Física.

Esse problema é bastante similar ao exercício 2 do nosso capítulo. Ao olhar a nossa figurinha do enunciado, a primeira coisa que temos de fazer é definir algumas coisas. Por isso, bora chamar a pressão na altura hipotética h 1 do lado esquerdo do reservatório de p 1 . Desse modo, para o lado direito, obtemos que a pressão exercida pela coluna de líquido na mesma altura é igual a:

p = p 2 + ρ g ( h 1 + l sen ⁡ θ )

Essa é a pressão a partir da linha de referência que começa na altura h 1 + l sen ⁡ θ .

Passo 2

Agora, a questão nos diz que as duas pressões devem se igualar. Desse modo, p 1   tem que ser igual a p 2 :

p 1 = p 2 + ρ g ( h 1 + l sen ⁡ θ )

p 1 - p 2 = ρ g ( h 1 + l sen ⁡ θ )

Passo 3

Por fim!! Lembra lá dos vasos comunicantes!! Por ele sabemos que Uma variação de volume ∆ V 1   no lado esquerdo do reservatório deve corresponder a uma mesma variação de volume ∆ V 2   no lado direito do reservatório... Se considerarmos que o reservatório é cilíndrico, obtemos então, que:

∆ V 1 = ∆ V 2

h 1 π D 2 4 = l sen ⁡ θ π d 2 4

h 1 = l sen ⁡ θ d 2 D 2

Ótimo! Olha só que beleza! Conseguimos obter h 1 em função de l . Vamos substituir essa relação na equação que obtivemos no P a s s o   2 :

p 1 - p 2 = ρ g ( h 1 + l sen ⁡ θ )

p 1 - p 2 = ρ g l sen ⁡ θ + l sen ⁡ θ d 2 D 2

p 1 - p 2 = ρ g l sen ⁡ θ 1 + d 2 D 2

Assim, a única coisa que nos resta fazer é obter o valor do ângulo θ , isolando-o:

θ = sin - 1 ⁡ p 1 - p 2 ρ g l 1 + d 2 D 2

Subtituindo os valores numéricos pertinentes, obtemos nossa resposta, igual a:

θ = sin - 1 ⁡ 0,001 a t m ⋅ 1,01 ⋅ 10 5   P a 1   a t m ( 800   k g / m 3 ) ( 9,81   m / s 2 ) ( 0,05   m ) 1 + 0,5 2 2,5 2

θ = sin - 1 ⁡ 0,24749

θ = 0,25   r a d ≅ 14,4 °

Resposta

θ = 0,25   r a d ≅ 14,4 °

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