Enunciado

Um objeto de massa m 1 , calor especifico c 1 e temperatura T 1 é colocado em contato com um segundo objeto de massa m 2 , calor especifico c 2 e temperatura T 2 > T 1 . Por causa disso, a temperatura do primeiro objeto aumenta até T e a temperatura do segundo objeto diminui para T ' .a) Mostre que o aumento de entropia do sistema é dado por

∆ S = m 1 c 1 ln ⁡ T T 1 + m 2 c 2 ln ⁡ T ' T 2

e mostre que a conservação de energia exige que

m 1 c 1 T - T 1 = m 2 c 2 ( T 2 - T ' )

b)Mostre que a variação de entropia ∆ S , considerada função de T , torna-se máxima quando T = T ' , que é precisamente a condição de equilíbrio termodinâmico. c) Discuta o resultado da parte (b) considerando a ideia de que a entropia indica o grau de desordem de um sitema.

Passo 1

Bom, galera, aqui, use a expressão derivada no Exemplo 20.6 para a mudança de entropia em uma mudança de temperatura.

Para o valor de T para o qual Δ S é o máximo, d   ( Δ S ) / d T = 0 .

O fluxo de calor para uma mudança de temperatura é Q   =   m c Δ T .

Passo 2

  1. Como no Exemplo 20.10, a alteração de entropia do primeiro objeto é m 1 c 1 ln ⁡ T T 1 e a do segundo é m 2 c 2 ln ⁡ T ' T 2 , e, portanto, a variaçãototal da entropia é a dada.
  2. Negligenciar a transferência de calor para os arredores,

    Q 1 + Q 2 = 0 , m 1 c 1 T - T 1 + m 2 c 2 T ' - T 2 = 0 ,

    que é a expressão fornecida.

    Passo 3

  3. Resolver a relação de conservação de energia para T ′ e substituir a expressão por Δ S
  4. ∆ S = m 1 c 1 ln ⁡ T T 1 + m 2 c 2 ln ⁡ 1 - m 1 c 1 m 2 c 2 T T 2 - T 1 T 2 .

    Diferenciar em relação a T e definir a derivada igual a 0 dá

     

    0 = m 1 c 1 T + m 2 c 2 m 1 c 1 m 2 c 2 - 1 T 2 1 - m 1 c 1 m 2 c 2 T T 2 - T 1 T 2 .

    Isso pode ser resolvido para

    T = m 1 c 1 T 1 + m 2 c 2 T 2 m 1 c 1 + m 2 c 2 .

    O uso desse valor para T na conservação da expressão de energia na parte (a) e a solução para T   ' fornece

     

    T ' = m 1 c 1 T 1 + m 2 c 2 T 2 m 1 c 1 + m 2 c 2 .

    Portanto,

    T = T '

    quando ∆ S é máximo.

    Passo 4

  5. O estado final do sistema será aquele para o qual nenhuma outra alteração de entropia é possível. E se T   < T   ' , é possível que as temperaturas se aproximem enquanto aumentam a entropia total, mas quando T   =   T   ' , nenhuma troca de calor espontânea adicional é possível.

Resposta

  1. mostrado no Passo2;
  2. Mostrado no Passo 3;
  3. Discutido no Passo 4.
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