Enunciado

Um objeto que se move em um líquido experimenta uma força de arraste linear: D = (bv, sentido oposto ao movimento), onde b é uma constante chamada coeficiente de arraste. Para uma esfera de raio R, o coeficiente de arraste pode ser calculado por b = 6 π n R , onde n é a viscosidade do líquido.

  1. Obtenha uma expressão algébrica para a velocidade v x ( t ) , o componente x da velocidade como função do tempo, para uma partícula esférica de raio R e massa m em queda através de um líquido de viscosidade 􏰃n.
  2. A 20°C, a água possui viscosidade n = 1,0 ⋅ 10 - 3 N s / m . Suponha que uma bola de 33 g de massa e 4,0 cm de diâmetro seja disparada horizontalmente dentro de um tanque cheio de água a 20°C. Quanto tempo levará para que a velocidade horizontal diminui para 50% de seu valor inicial?

Passo 1

A velocidade horizontal em função do tempo pode ser dada a partir da segunda lei de Newton aplicada no eixo horizontal.

F x = m a x = - D c o s ( θ ) = - b v c o s ( θ )

pra facilitar nossa vida, vamos chamar v c o s ( θ ) de v x , ok? Chegamos em

m a x = - b v x

mas sabemos que a aceleração é a taxa de variação da velocidade em função do tempo.

m d v x d t = - b v x

Então, se a gente separar e integrar, vamos voltar a ter o tempo na nossa expressão!

∫ v 0 v x ( t ) d v x v x = - b m ∫ 0 t d t

l n ( v x ( t ) v 0 ) = - b m t

E aí a gente pode isolar o que a gente quer

v x ( t ) = v 0 e - b m = v 0 e - π n R t m

Passo 2

Bom, acabamos de descobrir uma expressão que nos dá a velocidade x em função de t. Aqui na letra b, está sendo solicitado o tempo t para que v x = 1 2 v 0 . Então, vamos substituir na fórmula.

1 2 v o = v 0 e - π n R t m

A gente pode cortar as velocidades iniciais.

1 2 = e - π n R t m

Isolando o t

t = m ⋅ l n ( 2 ) 6 π n R = m ⋅ l n ( 2 ) 6 π n R

Agora, substituindo os valores conhecidos

t = 0.033 ⋅ l n ( 2 ) 6 π ( 1.0   ⋅ 10 - 3 ) ( 2.0 ⋅ 10 - 2 ) = 61   s

Resposta

  1. v x ( t ) = v 0 e - b m = v 0 e - π n R t m
  2. 61 segundos.
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