Enunciado

Um objeto que se move em um líquido experimenta uma força de arraste linear: D = (bv, sentido oposto ao movimento), onde b é uma constante chamada coeficiente de arraste. Para uma esfera de raio R, o coeficiente de arraste pode ser calculado por b = 6 π n R , onde n é a viscosidade do líquido.

  1. Use o que você aprendeu de cálculo para demonstrar que a x = v x d v x d x .
  2. Obtenha uma expressão algébrica para a velocidade v x ( x ) , o componente x da velocidade como função da distância percorrida, para uma partícula esférica de raio R e massa m que é disparada com velocidade v o dentro de um líquido de viscosidade n.
  3. A 20°C, a água possui viscosidade 􏰃 n = 1.0 ⋅ 10 - 3   N s / m . Suponha que uma bola de gude de 1,0 g de massa e 1,0 cm de diâmetro seja disparada horizontalmente dentro de um tanque cheio de água a 20°C com 10 cm/s de velocidade. Que distância horizontal ela percorrerá antes de parar?

Passo 1

Como a aceleração é a taxa de variação da velocidade em função do tempo, podemos reescrever usando a notação de derivadas.

a x = d v d t

E se a gente multiplicar em cima e embaixo por um mesmo valor, o resultado não se altera. Então, se liga

a x = d v d t = d v d t ⋅ d x d x

Mas repara que d x d t é igual a v x . Então, nossa expressão é a mesma coisa que

a x = d v d t = d v d t ⋅ d x d x = v x d v x d x

Passo 2

Escrevendo a lei de Newton para o sistema atual, temos que

F x = m a x = - D c o s ( θ ) = - b v c o s ( θ )

E, v c o s ( θ )   =   v x , ok? Então,

m a x = m d v x d t = - b v x

E a gente pode separar e integrar.

∫ v o v x ( t ) d v x = - b m ∫ x 0 x ( t ) d x

que vai dar

v x ( x ) = v 0 - b m ( x ( t ) - x 0 )

e considerando x 0 = 0 e substituindo b,

v x ( x ) = v 0 - 6 π n R m x

Passo 3

No último item, precisamos aplicar a função que calculamos no item b pra descobrir qual valor de x zera a equação.

v x ( x ) = v 0 - 6 π n R m x = 0

x = m v 0 6 π n R

substituindo com os valores enunciados,

x = ( 1.0 ⋅ 10 - 3 ) ( 0.10 ) 6 π ( 1.0 ⋅ 10 - 3 ) ( 5.0   ⋅ 10 - 3 ) = 1.1   m

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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