Enunciado

1. Uma onda plana monocromática incide perpendicularmente sobre um anteparo opaco com beirada retilínea, projetando sua sombra sobre outro anteparo, paralelo ao primeiro, e situado dentro da região de Fresnel. Demonstre que a intensidade difratada, num ponto situado exatamente no limite da sobra geométrica da beirada, é igual a I 0 / 4 , onde I 0 é a intensidade incidente (não-obstruída).

Passo 1

Então, vem comigo que juntos vamos domar esse problema.

Como o próprio enunciado diz a o anteparo está na região de Fresnel e isso significa que teremos que trabalhar com a difração de Fresnel.

Mas fique calmo que não teremos que usar aquelas contas doidas do formalismo dessa difração, vamos usar apenas alguns conceitos. Até o próprio livro não se aprofunda em contas só em discussões qualitativas.

Vamos usar o conceito de zonas de Fresnel para isso e fato de que

I = ν ( P ) 2

Onde

ν P = 2 i λ A e i k z ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 F n

E F n é a contribuição de cada zona de Fresnel.

Para facilitar nossa análise vamos considerar um objeto retangular.

Vamos em frente então!

Passo 2

Na seção 4.3 do livro nos diz que a interferência entre as contribuições das zonas de Fresnel gera um efeito final em um ponto P do anteparo é metade da contribuição da 1 ª zona.

Assim temos que:

ν P = 2 i λ A e i k z F 1 2

= i λ A e i k z F 1

Na seção 4.4 o livro chega a conclusão de que em um ponto na região do anteparo temos que:

I 0 ∝ F 1 2

Onde I 0 = i λ A e i k z F 1 2 .

Isso nos diz que a intensidade de um ponto P na região central do anteparo é igual a intensidade incidente e é proporcional a metade da contribuição da primeira zona seria totalmente visível como você pode ver na figura 4.9 ( a ) do livro.

Você pode me perguntar como isso acontece se temos um objeto difratando a luz e não uma fenda. Isso ocorre que a figura de difração de uma fenda e de um objeto que tenham a mesmas dimensões são iguais.

Passo 3

Agora quando vamos avaliar um ponto P no limite da sombra geométrica temos que metade da primeira zona fica amostra para contribuição, análogo a figura 4.9 ( d ) do livro.

Então se temos apenas metade da zona contribuindo a contribuição dessa zona será de F 1 / 4 .

Assim nossa intensidade fica da seguinte maneira:

I = 2 i λ A e i k z F 1 4 2

= i λ A e i k z F 1 2 2

= 1 4 i λ A e i k z F 1 2

Mas lembrando que:

I 0 = i λ A e i k z F 1 2

Teremos que

I = 1 4 I 0

Resposta

Demonstrado acima.

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