Enunciado

3. A construção sobre um plano Σ das zonas de Fresnel pode ser estendida a uma onda incidente esférica, proveniente de um ponto fonte F (fig.). Nesse caso, o pólo O se obtém unindo o ponto de observação P à fonte puntiforme F e tomando a intersecção com Σ , e as zonas de Fresnel são definidas pelas condições (fig.):

F P 1 - + P 1 P - = R + R ' + λ 2

F P 2 - + P 2 P - = R + R ' + λ ,   …

Os raios das zonas são ρ 1 = O P 1 - ,   ρ 2 = O P 2 - ,   … . Uma lente de Fresnel se define da mesma forma que para uma onda incidente plana. Demonstre que o raio da n -ésima zona de Fresnel é dado por

ρ n = n λ f             n = 1,2 , 3 , …

onde

1 f = 1 R + 1 R '

fórmula análoga à de uma lente, em que R ' é a distância objeto e R a distância imagem. Verifique que, no caso limite de uma onda plana o resultado se reduz ao anterior.

Passo 1

E vamos para mais um problema, mas fica tranquilo que juntos vamos conseguir resolvê-lo.

Nesse problema vamos precisar nos atentar mais na matemática envolvida do que na física em si, já que a construção dessas zonas de Fresnel é baseada em geometria.

Vamos chegar na expressão para o raio da primeira zona, a partir disso podemos generalizar já que o mecanismo de construção é sempre o mesmo.

Vamos lá então.

Passo 2

Da nossa figura podemos tirar que a distância   F P 1 - pode ser escrita da seguinte forma usando Pitágoras.

F P 1 - 2 = R ' 2 + O P 1 - 2

⇒ F P 1 - = R ' 2 + O P 1 - 2

= R ' 1 + O P 1 - 2 R ' 2

Agora usando aproximação polinomial temos:

F P 1 - = R ' 1 + 1 2 O P 1 - 2 R ' 2

= R ' + 1 2 O P 1 - 2 R '

De forma análoga temos que:

P 1 P - = R + 1 2 O P 1 - 2 R

Passo 3

Agora, o enunciado nos forneceu o seguinte:

F P 1 - + P 1 P - = R + R ' + λ 2

Então vamos somar as expressões que encontramos e ver no que temos.

F P 1 - + P 1 P - = R ' + 1 2 O P 1 - 2 R ' + R + 1 2 O P 1 - 2 R

= R ' + R + O P 1 - 2 2 1 R ' + 1 R

Fazendo que:

1 f = 1 R ' + 1 R

Temos que:

F P 1 - + P 1 P - = R ' + R + O P 1 - 2 2 f

Agora usando o que o enunciado nos deu temos:

R ' + R + O P 1 - 2 2 f = R + R ' + λ 2

⇒ O P 1 - 2 2 f = λ 2

⇒ O P 1 - = λ f

Usando a notação do enunciado temos:

ρ 1 = λ f

Com isso podemos generalizar para uma zona n (já que a construção é análoga, só muda a fase de λ / 2 ) que vai ter o raio dado por:

ρ n = n λ f

1 f = 1 R ' + 1 R

Passo 4

Agora vamos verificar o caso limite de uma onda plana.

Para uma onda plana temos que R ' = ∞ (que é bem dizer o raio da onda). Assim temos que:

1 f = 1 R

⇒ f = R

Então temos que os raios das zonas de Fresnel são dados por:

ρ n = n λ R

Então conseguimos voltar ao formalismo da onda plana mostrado no livro.

Resposta

Demonstrado acima

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