Enunciado

Uma onda transversal sobre uma corda é dada por

  y ( x ,   t )   =   ( 0,750   c m )   c o s   π [ ( 0,400   c m - 1 ) x   +   ( 250   s - 1 ) t ]  

(a) Ache a amplitude, o período, a frequência, o comprimento de onda e a velocidade de propagação. (b) Faça um desenho da corda para os seguintes valores de t :   O ,   0,0005   s e 0,0010   s . (c) A onda está se deslocando no sentido + x ou no sentido - x ? (d) A densidade linear da corda é igual a 0,0500   k g / m . Ache a tensão. (e) Ache a potência média transportada por essa onda.

Passo 1

Faaaaala meu povo, bora iniciar mais um livrinho com a gente!

Para essa questão, primeiramente sabemos que a função de onda y ( x , t ) de uma onda senoidal que descreve o deslocamento de partículas individuais no meio é dada por:

y x , t = A cos ⁡ ( k x ± ω t )

Onde A , k e ω são constantes.

E o sinal de menos é usado quando a onda estar se propagando na direção + x e o sinal de mais é usado quando a onda está se propagando na direção - x . A relação entre o número de onda k e o comprimento de onda λ é dada por:

λ = 2 π k

A relação entre a velocidade angular de uma onda ω e sua frequência f é dada por:

ω = 2 π f

A velocidade da onda em uma corda em termos da tensão F e da densidade de massa linear μ é dada por:

v = F μ

E a velocidade da onda em termos de comprimento de onda λ e frequência f é dada por:

v = λ × f

Também sabemos que a potência média transportada por uma onda senoidal em uma corda é dada por:

P = 1 2 μ F ω 2 A 2

Dados da questão:

A densidade de massa linear da corda é μ = 0,0500   k g / m e a função de onda da onda que se propaga na corda é dada por:

  y ( x ,   t )   =   ( 0,750   c m )   c o s   π [ ( 0,400   c m - 1 ) x   +   ( 250   s - 1 ) t ]  

Com isso a gente já pode começar nossa questãozinha, então vem comigo!

Passo 2

Letra a)

Se compararmos a função de onda da corda com a função de onda na equação:

y x , t = A cos ⁡ ( k x ± ω t )

, descobriremos que:

A = 0,750   c m

O número de onda é:

k = 0,400 π   c m - 1

E a velocidade angular:

ω = 250   π   s - 1

Para a frequência, colocamos nosso valor para ω na relação:

ω = 2 π f

e resolvemos para f , então obtemos:

250   π   s - 1 = 2 π × f

f = 125   H z

E assim, o período é dado da seguinte forma:

T = 1 f = 1 125   s - 1 = 0,0080   s

Para o comprimento de onda, colocamos nosso valor para k na relação:

λ = 2 π k

, então obtemos:

λ = 2 π 0,400 π m - 1 = 5,00   c m

E finalmente, para a velocidade da onda, colocamos nossos valores para f e λ na equação:

v = λ × f

, então obtemos:

v = ( 5,00   ) × ( 125   s - 1 )

v = 625   m / s

Passo 3

Letra b)

As figuras a seguir mostram a forma da corda.

Em t = 0   s :

Em t = 0 , 0005   s :

Em t = 0 , 00 10   s :

Passo 4

Letra c)

Da equação:

y x , t = A cos ⁡ ( k x ± ω t )

Já que o sinal na função cosseno em frente de ω t na função de onda dada é sinal de mais, então a onda estar se propagando na direção - x .

Passo 5

Letra d)

Calculamos a tensão na corda substituindo v e μ na equação:

v = F μ

Resolvendo para F , então obtemos:

F = 6,25 m s 2 ×   0,0500 k g m

F = 1,953   N

Passo 6

Letra e)

Para cálculo da potência média, basta a gente substituir os dados que já obtemos até aqui, na formula abaixo:

P = 1 2 μ F ω 2 A 2

Dessa forma, temos:

P = 1 2 ( 0,0500 ) ( 1,953 ) ( 250 π ) 2 ( 0,0075 ) 2

P = 5,4215   W

E finalmente acabamos nossa questão, deu tudo certinho aí? 😉 Te vejo na próxima!

Resposta

Letra a)

A = 0,750   c m

f = 125   H z

T = 0,0080   s

λ = 5,00   c m

v = 625   m / s

Letra b)

v e r   p a s s o   a   p a s s o

Letra c)

v e r   p a s s o   a   p a s s o

Letra d)

F = 1,953   N

Letra e)

P = 5,4215   W

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