Enunciado

Uma formiga de massa m está tranquilamente em repouso sobre uma corda esticada na horizontal. A corda possui densidade linearµ, e está sob tensão F. Sem avisar, seu primo Tobias produz uma onda transversal senoidal com comprimento de onda λ que se propaga na corda. O movimento da corda está contido em um plano vertical. Qual é a amplitude mínima da onda que faz a formiga ficar repentinamente com peso aparente igual a zero? Suponha que a massa m seja tão pequena que a presença da formiga não altere a propagação da onda

Passo 1

Faaaaala meu povo, bora iniciar mais um livrinho com a gente!

Para essa questão, primeiramente sabemos que a velocidade da onda em uma corda em termos da tensão F e da densidade de massa linear μ é dada por:

v = F μ

A velocidade de onda de qualquer onda periódica é dada por:

v = λ × f

E a aceleração transversal de uma partícula na corda é dada por:

a y = - ω 2 A cos ⁡ ( k x - ω t )

Também sabemos que a relação entre a velocidade angular e a frequência é:

ω = 2 π f

Com isso a gente já pode começar nossa questãozinha, então vem comigo!

Passo 2

A formiga ficará momentaneamente sem peso quando sua aceleração for igual à constante gravitacional:

a = g

Como a formiga é tão pequena, podemos imaginar que ela se segura apenas em uma partícula da corda; logo, seu movimento é o mesmo movimento daquela partícula.

Portanto, a aceleração da formiga conforme ela oscila para cima e para baixo é a aceleração transversal da partícula que ela segura, que é dada pela equação:

a y = - ω 2 A cos ⁡ ( k x - ω t )

a f o r m i g a = a y

O valor máximo da aceleração transversal ocorre quando:

cos ⁡ k x - ω t = 1

Então a aceleração máxima da formiga é:

a f o r m i g a , M A X = ω 2 A

Substituindo   ω na equação: ω = 2 π f , temos:

a f o r m i g a , M A X = 4 π 2 f 2 A

Para a amplitude mínima que fará com que a formiga fique momentaneamente sem peso, colocamos a f o r m i g a , M A X = g , assim obtemos:

g = 4 π 2 f 2 A M I N

Resolvendo a equação:   v = λ × f para f e substituindo, obtemos:

g = 4 π 2 v 2 A M I N λ 2

Agora, substituímos v da equação:   v = F μ , então obtemos:

g = 4 π 2 A M I N λ 2 F μ

Finalmente, temos que:

A M I N = g λ 2 μ 4 π 2 F

E assim acabamos nossa questão, deu tudo certinho aí? 😉 Te vejo na próxima!

Resposta

A M I N = g λ 2 μ 4 π 2 F

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