Enunciado

Um fio de aço cilíndrico uniforme, de 55,0 cm de comprimento e 1, 14 mm de diâmetro, é preso em ambas as extremidades. A que tensão ele deve ser ajustado para que, ao vibrar em seu primeiro sobretom, produza a nota D# com 311 Hz de frequência? Suponha que a deformação do fio seja desprezível. (Dica: use a Tabela 14.1.)

Passo 1

Fala galera, bora lá! Para resolver este problema, vamos colocar em prática nosso conhecimento sobre ondas mecânicas, em que usaremos as seguintes equações ao longo de nossa resolução:

f n = n v 2 L     e     v = F μ

Em que f n é a frequência das ondas estacionárias, v a velocidade da onda, L o comprimento do fio, F a tensão no fio e μ a densidade linear do mesmo.

Passo 2

Queremos determinar a que tensão o fio deve ser ajustado para que, ao vibrar em seu primeiro sobretom, produza a nota uma nota com frequência de 311 Hz. Assim, sabendo que a densidade do aço ρ = 7,8 × 10 3   k g / m 3 e lembrando que para a primeira onda estacionária n = 2 , utilizaremos a primeira equação para calcular a velocidade da onda. Deste modo, tem-se que:

v = 2 f 2 L n = 2 0,550 311 2

v = 171   m / s  

Passo 3

Agora, lembrando que o volume do fio é V = π r 2 L e que a massa do mesmo é dada por m = ρ V , podemos calcular a densidade linear do fio:

μ = m L = ρ V L

μ = ρ π r 2 = π ( 7,8 × 10 3 ) ( 0,57 × 10 - 3 )

μ = 7,96 × 10 - 3   k g / m

Passo 4

Por fim, basta substituir os valores da velocidade da onda e da massa linear do fio na segunda equação citada no passo 1, isolar F e assim calculá-lo:

F = μ v 2 = 7,96 × 10 - 3 171

F = 233   N

Resposta

Portanto, para que, ao vibrar em seu primeiro sobretom, o fio produza uma nota com frequência de 311 Hz, o mesmo deve ser ajustado com uma tensão de F = 233   N .

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