Enunciado

Ondas transversais em uma corda possuem velocidade de 8,0   m / s , amplitude de 0,0700   m e comprimento de onda igual a 0,320   m . As ondas se movem no sentido - x , e em t = 0 a extremidade x = 0 da corda possui deslocamento máximo para cima. a) Ache a frequência, o período e o numero de ondas dessas ondas. b) Ache a função de onda que descreve essa onda. c) Calcule o deslocamento transversal de uma partícula situada no ponto x = 0,360 m no instante t = 0,150   s . d) A partir do instante calculado no item (c), quanto tempo a partícula situada no ponto x = 0,360   m leva para atingir o deslocamento máximo para cima?

Passo 1

E aí galera, tudo certo? Essa questão vai ser bastante aplicação de fórmula.Algumas fórmulas importantíssimas sobre ondas que precisamos pro passo 1 são:

v = λ ∙ f

T = 1 f

k = 2 π λ

Como o enunciado nos deu as seguintes informações:

  • v = 8,0   m / s
  • A = 0,07   m
  • λ = 0,32   m
  • Temos que:

    v = λ f → f = v λ = 8 0,32 = 25 H z

    Achamos também com essas fórmulas:

    T = 1 f = 1 25 = 0,04   s

    E por fim, pro número de onda ( k ), vamos ter:

    k = 2 π λ = 2 π   r a d 0,32   m = 6,25 π   r a d / m

    Ou se quiser aproximar:

    k = 19,63   r a d / m

    Pronto! Letra a fechada!

    Passo 1

    Agora pra letra b , o primeiro passo é escolher a fórmula que menos dá trabalho pra gente. Veja só a fórmula 15.4 do livro:

    y x , t = A cos ⁡ 2 π x λ - t T

    Só um detalhe, o livro nos diz que a onda vai se mover no sentido + x . Como o enunciado pediu no sentido - x , modificamos para:

    y x , t = A cos ⁡ 2 π x λ + t T

    Agora vamos tentar terminar essa modelagem achando as constantes. Do enunciado e do passo 1 , temos que:

  • T = 0,04   s
  • A = 0,07   m
  • λ = 0,32   m

Substituindo:

y x , t = 0,07 ∙ cos ⁡ 2 π x 0,32 + t 0,04

Note que o enunciado diz “As ondas se movem no sentido - x , e em t = 0 a extremidade x = 0 da corda possui deslocamento máximo para cima” Isso quer dizer que

y 0,0 = 0,07 ∙ cos ⁡ 2 π 0 + 0

y 0,0 = 0,07 ∙ cos ⁡ 0

y 0,0 = 0,07

O que ta certinho, já que o cosseno de qualquer coisa é máximo quando seu valor é 1 .

Passo 2

Próximo passo é mera aplicação da fórmula que montamos pessoal! O deslocamento transversal vai ser:

y x , t = 0,07 ∙ cos ⁡ 2 π x 0,32 + t 0,04

Com as variáveis substituídas conforme o enunciado:

x = 0,36   m t = 0,15   s

Vamos ter:

y = 0,07 ∙ cos ⁡ 2 π 0,36 0,32 + 0,15 0,04

y = 0,07 ∙ cos ⁡ 2 π 1,125 + 3,75

y = 0,07 ∙ cos ⁡ 2 π 4,875 = 0,07 ∙ cos ⁡ 9,75 ∙ π

y = 0,07 ∙ cos ⁡ 9 π + 0,75 ∙ π

A partir da propriedade do cosseno de soma de arcos:

y = 0,07 ∙ cos ⁡ 9 π ∙ cos ⁡ 0,75 ∙ π - sen ⁡ 9 π ∙ sen ⁡ 0,75 ∙ π

y = 0,07 ∙ - 1 ∙ cos ⁡ 0,75 ∙ π - 0 ∙ sen ⁡ 0,75 ∙ π

y = - 0,07 ∙ cos ⁡ 0,75 ∙ π = - 0,07 ∙ cos ⁡ 3 π 4

y = 0,07 ∙ 2 2

Por fim:

y = 0,035 ∙ 2     m

y = 3,5 ∙ 2     c m

Ou se quiser aproximar:

y ≅ 4,95     c m

Passo 3

Último passo agora galera! Bora lá! Pra começar, como a letra d pede deslocamento máximo pra cima, e estamos falando de uma onda, ela quer na verdade que na equação que montamos na letra d tenhamos:

y = 0,07

Já que:

y x , t = 0,07 ∙ cos ⁡ 2 π x 0,32 + t 0,04

E bem, isso só é possível quando:

cos ⁡ 2 π x 0,32 + t 0,04 = 1

Já que esse é o valor máximo que cossenos podem atingir. Show, agora nota o seguinte. Vamos chamar:

θ = 2 π x 0,32 + t 0,04

cos ⁡ θ = 1

E vamos analisar quais valores de θ fazem o cosseno dar 1 . Note que:

cos ⁡ 0 = 1 cos ⁡ 2 π = 1 cos ⁡ 4 π = 1 ⋮

Portanto, de forma geral:

cos ⁡ 2 π n = 1 ;             s e     n = 0,1 , 2,3 , …

Igualando o interior do cosseno, temos:

θ = 2 π n

2 π x 0,32 + t 0,04 = 2 π n

x 0,32 + t 0,04 = n

t 0,04 = n - x 0,32

t x , n = 0,04 ∙ n - 0,125 ∙ x

Ok, a princípio parece meio doido isso. Mas veja, o enunciado pede pra gente a partir de t = 0,15   s , quanto tempo a partícula situada no ponto x = 0,360   m leva para atingir o deslocamento máximo para cima. Bem, substituindo na equação acima x , temos:

t n = 0,04 ∙ n - 0,125 ∙ 0,36

t n = 0,040 ∙ n - 0,045

E testando vários valores de n , temos:

t 2 = 0,040 ∙ 2 - 0,045 = 0,080 - 0,045 = 0,035 t 3 = 0,040 ∙ 3 - 0,045 = 0,120 - 0,045 = 0,075 t 4 = 0,040 ∙ 4 - 0,045 = 0,160 - 0,045 = 0,115 t 5 = 0,040 ∙ 5 - 0,045 = 0,200 - 0,045 = 0,155 t 6 = 0,040 ∙ 6 - 0,045 = 0,240 - 0,045 = 0,195

Em resumo:

t 2 = 0,035 t 3 = 0,075 t 4 = 0,115 t 5 = 0,155 t 6 = 0,195

E galera esses são alguns dos instantes em que o deslocamento pra cima máximo é atingido, para partículas situadas em x = 0,36 . Como queremos quanto tempo vai demorar pro próximo instante chegar, depois de t = 0,15   s , basta vermos que:

0,115 < 0,15 < 0,155

t 4 < t < t 5

Então o próximo instante é em t 5 ! De t até t 5 faltam ∆ t segundos, que são:

∆ t = t 5 - t

∆ t = 0,155 - 0,15

∆ t = 0,005   s

∆ t = 5   m s

Resposta

  1. T = 0,04   s = 40   m s f = 25   H z k = 6,25 π   r a d / m ≅ 19,63   r a d / m
  2. y x , t = 0,07 ∙ cos ⁡ 2 π x 0,32 + t 0,04 y , x = m e t r o s   ; t = s e g u n d o s
  3. y = 3,5 ∙ 2     c m ≅ 4,95     c m
  4. ∆ t = 0,005   s = 5   m s
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a equação 15.3 pode ser escrita na forma y x , t = A cos ⁡ 2 π λ x - v t Use y ( x , t ) para encontrar uma expressão para a velocidade transversal v y de uma partícula da corda onde a onda
A amplitude de uma onda diminui quando ela se propaga ao longo de uma corda esticada muito comprida. O que é feito com a energia da onda quando isso ocorre?
Em uma onda transversal em uma corda, o movimento da corda é perpendicular ao seu comprimento. Então, como ocorre a transferência de energia através da corda?
A velocidade das ondas no oceano depende da profundidade da água; quanto maior for a profundidade, maior será a velocidade. Use esse raciocínio para explicar por que as ondas do oceano aumentam suas c
Ao esticar uma tira de borracha e puxar verticalmente um de seus pontos, você ouvirá um tom (ligeiramente) musical. Como a frequência desse tom irá variar quando você esticar ainda mais a tira? (Tente