Enunciado

  1. Mostre que a equação 15.3 pode ser escrita na forma
  2. y x , t = A cos ⁡ 2 π λ x - v t

  3. Use y ( x , t ) para encontrar uma expressão para a velocidade transversal v y de uma partícula da corda onde a onda se propaga.
  4. Calcule a velocidade máxima de uma partícula da corda. Em que circunstâncias essa velocidade pode ser igual à velocidade v de propagação da onda? Quando ela pode ser menor do que v ? E maior que v ?

Passo 1

Sabemos que a velocidade pode ser escrita em termos do comprimento de onda, não é? Então saca só:

v = λ f

E sabemos também que a frequência é o inverso do período, então:

v = λ T

E sabemos também que o número de onda k   é:

k = 2 π λ

Agora é só substituir a velocidade na expressão para y ( x , t ) :

y x , t = A cos ⁡ 2 π x λ - t T  

Multiplicando em cima e embaixo por λ no termo t / T do argumento do cosseno e colocando λ em evidência teremos o seguinte:

y x , t = A cos ⁡ 2 π λ x - λ T t

E que por fim pode ser escrita como:

y x , t = A cos ⁡ 2 π λ x - v t

Passo 2

Show! Agora vamos pra Letra b)!

A velocidade transversal v y é dada pela derivada parcial de y em relação ao tempo, então saca só:

v y = ∂ y ∂ t = A 2 π v λ sin ⁡ 2 π λ x - v t

Passo 3

E a velocidade máxima vai ser quando a parte oscilante for máxima. Nesse caso, onde o seno for 1 :

v m á x = A 2 π v λ

E essa velocidade vai ser igual à velocidade de propagação quando:

v m á x = A 2 π v λ = v

Ou seja, quando tivermos:

A = λ 2 π

Do mesmo modo, a velocidade vai ser menor que a velocidade de propagação quando:

A < λ 2 π

E maior quando:

A > λ 2 π

Resposta

a )   y x , t = A cos ⁡ 2 π λ x - v t

b )   v y = ∂ y ∂ t = A 2 π v λ sin ⁡ 2 π λ x - v t

c ) v m á x = A 2 π v λ

v y = v   :   A = λ 2 π

v y > v   :   A > λ 2 π

v y < v   :   A < λ 2 π

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