Enunciado

Um oscilador amortecido perde 3,50 por cento de sua energia a cada ciclo? (a) Quantos ciclos decorrem até que metade de sua energia seja dissipada? (b) Qual é o seu fator Q ? (c) Se a frequência natural é 100   H z , qual é a largura da curva de ressonância quando o oscilador é excitado por uma força senoidal?

Passo 1

(a) Vamos supor que a energia inicial do oscilador era E 0 . Precisamos de uma fórmula que dê a energia final após n ciclos, assim a gente consegue achar em que ciclo a energia vai estar metade da inicial.

A energia num ciclo inicial é E 0 . Já a energia num ciclo posterior, ou seja, n = 1 , vai ser a energia de n = 0 menos a perda de energia do ciclo. Para dois ciclos consecutivos, uma perda de 3,5 % (como o enunciado diz) leva à seguinte expressão:

E 1 = E 0 - 0,0 35 E 0

Esse termo 0,0 35 E 0 representa a perda de energia em relação a energia do ciclo anterior. Continuando:

E 1 = 1 - 0,0 35 E 0

Esse termo 1 - 0,0 35   representa a porcentagem de energia que fica a cada ciclo.

Se continuássemos por mais um ciclo, em n = 2 , teríamos que a energia do novo ciclo seria a porcentagem que fica, representada por 1 - 0,0 35 , em relação ao ciclo anterior E 1 :

E 2 = 1 - 0,0 35 E 1

Substituindo nossa expressão de E 1

E 2 = 1 - 0,0 35 1 - 0,0 35 E 0

E 2 = 1 - 0,0 35 2 E 0

Seguindo o mesmo raciocínio, a energia de um ciclo n = 3 seria

E 3 = 1 - 0,0 35 E 2

E 3 = 1 - 0,0 35 1 - 0,0 35 2 E 0

E 3 = 1 - 0,0 35 3 E 0

Podemos generalizar essa fórmula para encontrar a energia de uma oscilação em ciclo n qualquer em comparação com a energia inicial E 0 :

E n = 1 - 0,0 35 n E 0

E n = 0,9 65 n E o

Passo 2

E queremos encontrar o valor de n para o qual E n = 1 2 E 0 :

1 2 E 0 = 0,965 n E 0

0,965 n = 0,5

Vamos aplicar o logaritmo nos dois lados da equação:

n ln ⁡ ( 0,965 ) = l n ⁡ ( 0,5 )

n = ln ⁡ 0,5 ln ⁡ ( 0,965 ) = 19,45

Então decorrem cerca de 19 ciclos completos.

Passo 3

(b) Então, ele deu um oscilador que perde 3,5 % da sua energia em cada ciclo e pede o fator de qualidade Q desse amortecedor.

Podemos calcular o fator Q a partir da perda percentual de energia por ciclo:

Q = 2 π Δ E E c i c l o

Essa fórmula é válida para sistemas de baixo amortecimento, o que se aplica a esse caso, já que temos uma perda de apenas 3,5 % de energia por ciclo, algo que satisfaz:

Δ E E c i c l o = 3,5 % = 0,0 35 ≪ 1

Essa relação mostra que a energia perdida é muito menor que 1, então temos um baixo amortecimento mesmo.

Assim podemos substituir nossos dados na fórmula para achar Q :

Q = 2 π Δ E E c i c l o

Q = 2 π ( Δ E / E ) = 2 π 0,035

Q = 180

Passo 4

(c) Para calcular a largura da curva de ressonância temos que calcular a seguinte fórmula:

Δ ω = ω 0 Q

Onde Δ ω é a largura que queremos.

Mas ele nos deu a frequência f 0 = 100   H z natural, então precisamos usar que

ω o = 2 π f 0

Substituindo:

Δ ω = f 0 Δ E E

Δ ω = 2 π f 0 Q

E substituindo nossos dados e Q do item anterior

Δ ω = 2 π 100 180 = 3,50   r a d / s

Resposta

(a) 19 ciclos completos.

(b) Q = 180 .

(c) Δ ω = 3,50   r a d / s .

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