Enunciado

102. Ressonância em um sistema mecânico. Um bloco de massa m está preso à extremidade de uma mola sem massa cuja constante é k e comprimento de equilíbrio igual a l 0 . A outra extremidade da mola pode girar livremente em torno de um prego cravado em uma superfície horizontal sem atrito (Figura 13.44 ). O bloco gira em um círculo com uma frequência angular de revolução ω ' . a ) Determine o comprimento l da mola em função de ω ' . b ) O que ocorre com o resultado da parte ( a ) quando ω ' se aproxima da frequência natural ω = k / m do sistema massa-mola? (Se o resultado o incomoda, lembre que molas sem massa e superfícies sem atrito não existem; são apenas descrições aproximadas de molas e superfícies reais. Além disso, a lei de Hooke é ela própria uma aproximação do comportamento das molas reais; quanto maior for a deformação da mola, maior será o desvio da lei de Hooke.)

Passo 1

No caso que temos acima podemos aplicar a segunda lei de Newton para o bloco já que temos força resultante, no caso a elástica, temos:

∑ F = m a

Onde esse a é a aceleração radial, pois o nosso interesse vai ser na direção radial.

Como quem controla a posição radial é a mola, logo a aceleração pode ser escrita como:

a = ω ' 2 l

Então a equação da segunda lei, tendo a força elástica como resultante fica:

m ω ' 2 l = k x

Onde x é o quanto a mola se deformou, então sabendo que l 0 é o comprimento natural da mola, então x pode ser escrito como:

x = l - l 0

Passo 2

Assim, vamos substituir o x que temos na equação qu chegamos no passo 1 , então:

m ω ' 2 l = k ( l - l 0 )

Agora basta isolar l e teremos o que é pedido no item ( a ) .

m ω ' 2 l = k l - k l 0

⇒ k l - m ω ' 2 l = k l 0

⇒ l k - m ω ' 2 = k l 0

Então, temos que:

l = k l 0 k - m ω ' 2

Passo 3

Agora vamos pensar no item ( b ) , se você reparar quando ω ' se aproxima de ω = k / m , nosso denominador se aproxima de zero, então l tende a ficar infinitamente grande.

Isso é como se a mola se esticasse infinitamente, coisa que a gente sabe que na realidade não acontece.

Resposta

( a )

l = k l 0 k - m ω ' 2

( b )

l tende a ficar infinitamente grande.

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