Enunciado

Suponha que você tenha o mesmo aparato descrito no problema 83 , com a mesma esfera de ouro, agora pendurada em uma mola menos rija, com uma constante de força de apenas 35,0   N / c m . Você estudou a viscosidade do etileno glicol com este equiamento e encontrou uma viscosidade de 19,9   m P a   s . Agora, você decide excitar este sistema com uma força externa oscilante. (a) Se a magnitude da força de excitação sobre o equipamento é de 0,110   N , e o equipamento é excitado em ressonância, qual será a amplitude da oscilação resultante? (b) Se o sistema não fosse excitado, mas largado oscilando, que porcentagem de sua energia seria perdida em cada ciclo?

Passo 1

(a) Para calcular a amplitude de oscilações amortecidas, temos que usar a seguinte fórmula:

A = F 0 m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + b 2 ω 2

Mas no caso em que o equipamento é excitado em ressonância ( ω = ω 0 ), então:

A = F 0 b ω

E agora, seguindo as informações dadas no problema 83 (e algumas contas que fizemos lá), vamos reescrever a constante b :

b = 6 π a η

E lembrando que ω = k / m :

A = F 0 6 π a η m k

E para a massa m da bolinha de ouro:

m = ρ V = ρ 4 3 π a 3

Então:

A = F 0 6 π a η ρ 4 3 π a 3 k

Passo 2

Agora vamos substituir os valores numéricos:

η = 19,9   m P a   s = 19,9   .   10 - 3   P a   s  

a = 0,0600   m

k = 35,0 N c m = 35,0   .   10 2 N m

Então:

A = 0,110 ( 6 ) ( π ) ( 0,06 ) ( 19,9.10 - 3 ) ( 19,3.10 3 ) 4 3 π ( 0,06 ) 3 ( 35.10 2 )

A ≅ 34,5   c m

Passo 3

(b) Vamos chamar de ε a perda percentual de energia por ciclo:

ε = Δ E E

E vamos relacionar isso com as outras variáveis que conhecemos:

Q = 2 π ε = ω o τ

Mas τ = m / b , b = 6 π a η e ω 0 = k / m :

2 π ε = m 6 π a η k m = k m 6 π a η

E novamente:

m = ρ 4 3 π a 3

2 π ε = k ρ 4 3 π a 3 6 π a η

ε = 2 π 6 π a η k ρ 4 3 π a 3

Agora já estamos apenas com variáveis conhecidas:

ε = 2 π 6 π ( 0,0600 ) ( 19,9.10 - 3 ) ( 35,0.10 2 ) ( 19,3.10 3 ) 4 3 π ( 0,0600 ) 3

E então:

ε = Δ E E = 5,72   .   10 - 4

Resposta

(a) A = 34,5   c m .

(b) ε = 5,72   .   10 - 4 .

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