Enunciado

Um oscilador harmônico amortecido tme um fator Q = 10 . Partindo da posição de equilíbrio, é-lhe comunicada uma velocidade inicial de 5   m / s . Verifica-se que a energia total do oscilador diminui numa taxa, por segundo, igual a 4 vezes a sua energia cinética instantânea. Calcule o deslocamento x do oscilador (em m ) em função do tempo t (em s ).

Passo 1

Vamos começar lembrando da fórmula para o “fator de mérito” Q :

Q = ω 0 γ

Onde ω 0 é a frequência natural de oscilação e γ é o fator de amortecimento. Já temos o valor de Q , mas para determinar a frequência natural, vamos precisar encontrar o γ .

Bom, o enunciado diz que a variação da energia total do oscilador é quatro vezes a energia cinética instantânea.

Então, na média, vamos ter a seguinte relação para a perda de energia por segundo:

Δ E = - 4 E C

Mas a definição da perda de energia por segundo é:

Δ E = - γ E

Onde E é a energia média total. A energia total média é igual ao dobro da energia cinética média, então:

Δ E = - γ 2 E C

Agora é só igualar as duas fórmulas:

- 4 E C = - γ 2 E C

γ = 2   s - 1

Passo 2

Podemos usar esse resultado para determinar o fator de mérito Q :

Q = ω 0 γ

10 = ω 0 2       ⇒           ω 0 = 20   r a d / s

Ainda temos que montar a expressão para o deslocamento em função do tempo. Pela comparação entre ω 0 e γ , podemos determinar que o amortecimento é subcrítico:

2 2 < 20           ⇒         γ 2 < ω 0

Então a solução tem a seguinte forma:

x t = e - γ 2 t A cos ⁡ ω t + B sen ⁡ ω t

Onde a frequência angular é dada pela seguinte fórmula:

ω = ω 0 2 - γ 2 4 = 20 2 - 2 2 4 ≅ 20   r a d / s

Substituindo esse valor e o γ = 2   s - 1 , ficamos com:

x t = e - t A cos ⁡ 20 t + B sen ⁡ 20 t

Falta definir as constantes A e B , mas para isso vamos precisar das condições iniciais.

Passo 3

O enunciado diz que o oscilador parte da posição de equilíbrio:

x 0 = 0

Então:

x 0 = e 0 A cos ⁡ 0 + B sen ⁡ 0 = 0

e 0 A = 0

A = 0

E a velocidade inicial é x ˙ 0 = 5   m / s :

x t = e - t B sen ⁡ 20 t

x ˙ t = - e - t 20   B cos ⁡ 20 t

x ˙ 0 = - e 0 20   B = 5

B = 5 20 = 0,25   m

Então a expressão final é:

x t = e - t 0,25 sen ⁡ 20 t

Resposta

O deslocamento é dado por x t = e - t 0,25 sen ⁡ 20 t . Onde x é em metros e t em segundos.

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